Questão 166 do ENEM 2020 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos entender as regras da brincadeira. A palavra "GOL" é dita no lugar de um número sempre que ele se encaixar em pelo menos uma de duas condições:

1. O número é múltiplo de $4$.
2. O número termina com o algarismo $4$.

Como o participante conseguiu falar até o número $103$, nosso objetivo é contar quantos números de $1$ a $103$ satisfazem pelo menos uma dessas condições. Para não contarmos o mesmo número duas vezes, podemos usar o Princípio da Inclusão-Exclusão.

Contando os múltiplos de 4

Primeiro, vamos descobrir quantos múltiplos de $4$ existem entre $1$ e $103$. Os múltiplos de $4$ formam uma progressão aritmética: $4, 8, 12, \dots$

Para encontrar o maior múltiplo de $4$ dentro desse intervalo, dividimos $103$ por $4$: $103 \div 4 = 25 \text{ com resto } 3$

Isso significa que o maior múltiplo de $4$ menor ou igual a $103$ é $4 \times 25 = 100$. Portanto, existem $25$ múltiplos de $4$ na sequência.

Contando os números terminados em 4

Agora, vamos listar os números que terminam em $4$ no intervalo de $1$ a $103$. Eles são: $4, 14, 24, 34, 44, 54, 64, 74, 84, 94$

Note que o próximo seria $104$, que já está fora do nosso intervalo. Contando esses valores, vemos que existem $10$ números terminados em $4$.

Descontando as interseções

Se simplesmente somarmos as duas quantidades ($25 + 10 = 35$), estaremos contando duas vezes os números que são, simultaneamente, múltiplos de $4$ e terminados em $4$. Precisamos identificar quais são esses números para subtraí-los do total.

Olhando para a nossa lista de números terminados em $4$, vamos verificar quais deles também são divisíveis por $4$:

• $4 \div 4 = 1$ (Múltiplo)
• $14 \div 4 = 3,5$ (Não é múltiplo)
• $24 \div 4 = 6$ (Múltiplo)
• $34 \div 4 = 8,5$ (Não é múltiplo)
• $44 \div 4 = 11$ (Múltiplo)
• $54 \div 4 = 13,5$ (Não é múltiplo)
• $64 \div 4 = 16$ (Múltiplo)
• $74 \div 4 = 18,5$ (Não é múltiplo)
• $84 \div 4 = 21$ (Múltiplo)
• $94 \div 4 = 23,5$ (Não é múltiplo)

Os números que satisfazem ambas as condições são: $4, 24, 44, 64$ e $84$. Ou seja, temos $5$ números na interseção.

Calculando o total

Por fim, aplicamos o Princípio da Inclusão-Exclusão. O total de vezes que a palavra "GOL" foi dita é a soma dos múltiplos de $4$ com os terminados em $4$, subtraindo a interseção: $\text{Total} = 25 + 10 - 5 = 30$

Portanto, o participante disse a palavra "GOL" $30$ vezes durante a brincadeira.