Questão 169 do ENEM 2012 — Matemática

⚠️ Errata: as alternativas B e E desta questão apresentam erros de transcrição (a alternativa B traz uma fórmula de volume de tronco de cone, sem relação com o problema, e a alternativa E aparece como uma matriz coluna de cinco linhas com entradas 1/2). A resolução abaixo apresenta o raciocínio correto e indica qual deve ser o conteúdo verdadeiro da alternativa correta.

Para calcular a média anual de cada disciplina, é preciso somar as notas dos $4$ bimestres e dividir por $4$. Isso equivale a multiplicar cada nota bimestral por $\frac{1}{4}$ e somar os resultados.

A tabela pode ser representada por uma matriz $A$ de ordem $4 \times 4$, em que cada linha é uma disciplina e cada coluna é um bimestre:

$A = \begin{bmatrix} 5,9 & 6,2 & 4,5 & 5,5 \\ 6,6 & 7,1 & 6,5 & 8,4 \\ 8,6 & 6,8 & 7,8 & 9,0 \\ 6,2 & 5,6 & 5,9 & 7,7 \end{bmatrix}$

Queremos uma média para cada uma das $4$ disciplinas, ou seja, o resultado deve ser uma matriz coluna de ordem $4 \times 1$. Pela regra do produto de matrizes, o número de colunas da primeira ($A$ é $4 \times 4$) deve ser igual ao número de linhas da segunda; e, para que o produto seja $4 \times 1$, a matriz operadora $X$ deve ser uma coluna $4 \times 1$.

Multiplicando a primeira linha de $A$ por $X$, obtém-se a média de Matemática:

$5,9 \cdot x_1 + 6,2 \cdot x_2 + 4,5 \cdot x_3 + 5,5 \cdot x_4$

Como a média aritmética simples é

$5,9 \cdot \tfrac{1}{4} + 6,2 \cdot \tfrac{1}{4} + 4,5 \cdot \tfrac{1}{4} + 5,5 \cdot \tfrac{1}{4},$

conclui-se que todos os elementos de $X$ devem valer $\frac{1}{4}$. Portanto, a matriz procurada é a coluna $4 \times 1$

$X = \begin{bmatrix} \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} \end{bmatrix},$

que corresponde à alternativa E (a matriz coluna com todas as entradas iguais a $\frac{1}{4}$).