Questão 155 do ENEM 2018 — Matemática

ENEM 2018Matemática2ª aplicação

A água comercializada em garrafões pode ser classificada como muito ácida, ácida, neutra, alcalina ou muito alcalina, dependendo de seu $pH$, dado pela expressão

$$pH = \log_{10} \frac{1}{H},$$

em que $H$ é a concentração de íons de hidrogênio, em mol por decímetro cúbico. A classificação da água de acordo com seu $pH$ é mostrada no quadro.

$pH$Classificação
$pH \geq 9$Muito alcalina
$7,5 \leq pH < 9$Alcalina
$6 \leq pH < 7,5$Neutra
$3,5 \leq pH < 6$Ácida
$pH < 3,5$Muito ácida

Para o cálculo da concentração $H$, uma distribuidora mede dois parâmetros $A$ e $B$, em cada fonte, e adota $H$ como sendo o quociente de $A$ por $B$. Em análise realizada em uma fonte, obteve $A = 10^{-7}$ e a água dessa fonte foi classificada como neutra.

O parâmetro B, então, encontrava-se no intervalo
A
$(-10^{14,5}, -10^{13}]$
B
$[10^{-\frac{6}{7}}, 10^{-1})$
$[10^{-1}, 10^{\frac{1}{2}})$
Resposta correta
D
$[10^{13}, 10^{14,5})$
E
$[10^{6 \times 10^7}, 10^{7,5 \times 10^7})$
Gabarito oficial: alternativa C

Resolução comentada

Para resolver essa questão, precisamos relacionar a classificação da água com a fórmula do pHpH e os parâmetros AA e BB fornecidos.

Primeiro, vamos analisar a informação de que a água foi classificada como neutra. Observando a tabela fornecida no enunciado, a água neutra possui o seu pHpH no seguinte intervalo: 6≤pH<7,56 \leq pH < 7,5

O enunciado também nos diz que a concentração de íons de hidrogênio, HH, é calculada pela razão entre os parâmetros AA e BB, ou seja: H=ABH = \frac{A}{B}

Como foi dado que A=10−7A = 10^{-7}, podemos substituir esse valor na expressão de HH: H=10−7BH = \frac{10^{-7}}{B}

Agora, vamos substituir essa expressão de HH na fórmula do pHpH fornecida: pH=log⁡10(1H)pH = \log_{10} \left( \frac{1}{H} \right)

Substituindo HH: pH=log⁡10(110−7B)pH = \log_{10} \left( \frac{1}{\frac{10^{-7}}{B}} \right)

Para simplificar a fração dentro do logaritmo, invertemos a base: pH=log⁡10(B10−7)pH = \log_{10} \left( \frac{B}{10^{-7}} \right)

Lembrando que dividir por uma potência de 1010 com expoente negativo é o mesmo que multiplicar pela potência com expoente positivo, temos: pH=log⁡10(B⋅107)pH = \log_{10} (B \cdot 10^7)

Utilizando a propriedade do logaritmo do produto (log⁡(x⋅y)=log⁡x+log⁡y\log(x \cdot y) = \log x + \log y), podemos separar a expressão: pH=log⁡10B+log⁡10107pH = \log_{10} B + \log_{10} 10^7

Sabemos que log⁡10107=7\log_{10} 10^7 = 7, logo: pH=log⁡10B+7pH = \log_{10} B + 7

Agora que temos o pHpH em função de BB, podemos voltar à nossa desigualdade inicial para a água neutra: 6≤pH<7,56 \leq pH < 7,5

Substituindo o pHpH pela expressão que encontramos: 6≤log⁡10B+7<7,56 \leq \log_{10} B + 7 < 7,5

Para isolar o log⁡10B\log_{10} B, subtraímos 77 em todos os lados da desigualdade: 6−7≤log⁡10B<7,5−76 - 7 \leq \log_{10} B < 7,5 - 7 −1≤log⁡10B<0,5-1 \leq \log_{10} B < 0,5

Para encontrar o intervalo de BB, aplicamos a base 1010 em todos os termos da desigualdade. Como a base 1010 é maior que 11, o sentido das desigualdades se mantém: 10−1≤B<100,510^{-1} \leq B < 10^{0,5}

Sabendo que 0,50,5 pode ser escrito como a fração 12\frac{1}{2}, reescrevemos o intervalo: 10−1≤B<101210^{-1} \leq B < 10^{\frac{1}{2}}

Em notação de intervalo, isso significa que BB pertence a: [10−1,1012)[10^{-1}, 10^{\frac{1}{2}})

Esse resultado corresponde exatamente à alternativa C.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2018 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.