Questão 110 do ENEM 2023 — Ciências da Natureza

A questão pede que se identifique como a frequência da nota Lá se relaciona com o número $n$ de oitavas. Para isso, vamos investigar o comportamento dos dados da tabela.

Uma boa estratégia é verificar como cada frequência se relaciona com a anterior. Calculando a razão entre a frequência de uma oitava e a da oitava imediatamente abaixo:

• De $n=-2$ para $n=-1$: $\frac{220}{110} = 2$
• De $n=-1$ para $n=0$: $\frac{440}{220} = 2$
• De $n=0$ para $n=1$: $\frac{880}{440} = 2$
• De $n=1$ para $n=2$: $\frac{1\,760}{880} = 2$
• De $n=2$ para $n=3$: $\frac{3\,520}{1\,760} = 2$

A cada aumento de $1$ unidade em $n$, a frequência é multiplicada por um fator constante igual a 2. Quando uma grandeza é multiplicada por um fator fixo a cada passo (e não somada por um valor fixo), estamos diante de um crescimento exponencial. A relação pode ser escrita como:

$f(n) = 440 \cdot 2^{\,n}$

A tabela confirma esse comportamento: a frequência dobra a cada oitava, o que é coerente com uma curva exponencial crescente.

Portanto, a frequência cresce exponencialmente em função de $n$ — alternativa B.

Analisando as demais alternativas:

• A) O que é constante e igual a $2$ é a razão entre frequências consecutivas, não a variação (diferença). A diferença muda: de $n=0$ para $n=1$ é $880-440=440\text{ Hz}$; de $n=1$ para $n=2$ é $1\,760-880=880\text{ Hz}$.
• C) A variação não é fixa em $110\text{ Hz}$. Esse valor só aparece na primeira diferença ($220-110=110$); as seguintes crescem ($440-220=220$, $880-440=440$, e assim por diante).
• D) A função é crescente em todo o domínio. Mesmo para $n$ negativo, os valores aumentam à medida que $n$ cresce (de $110$ em $n=-2$ para $440$ em $n=0$), logo ela não é decrescente entre $-2$ e $0$.
• E) Não há mudança de comportamento em $n=0$: a frequência sempre aumenta conforme $n$ aumenta, tanto abaixo quanto acima da referência.