Questão 164 do ENEM 2011 — Matemática

Como está organizada a figura

O quadro é um retângulo dividido por uma malha em $6$ colunas e $2$ linhas, formando $12$ retângulos menores iguais. Sobre essa malha, a região sombreada é formada por quatro triângulos idênticos: dois voltados para o centro a partir das laterais esquerda e direita, e dois grandes triângulos superior e inferior que se encontram no meio, compondo o losango central e as "pontas" laterais.

Estratégia de cálculo

Quando as medidas exatas do quadro não estão explícitas no enunciado, o caminho seguro é trabalhar com a área de cada triângulo em função da base e da altura lidas na própria malha, lembrando que:

$A_{\text{triângulo}} = \frac{\text{base} \times \text{altura}}{2}$

Usando as dimensões do quadro original (largura $36$ cm e altura $24$ cm), cada célula da malha mede:

• largura de coluna: $\dfrac{36}{6} = 6$ cm;
• altura de linha: $\dfrac{24}{2} = 12$ cm.

Área de cada triângulo

Cada um dos triângulos sombreados tem base $6$ cm (largura de uma coluna) e altura $12$ cm (metade da altura do quadro). Assim:

$A_{\text{triângulo}} = \frac{6 \times 12}{2} = \frac{72}{2} = 36\ \text{cm}^2$

Área total sombreada

Como são $4$ triângulos idênticos:

$A_{\text{sombreada}} = 4 \times 36 = 144\ \text{cm}^2$

A área da figura sombreada é de 144 cm², alternativa C.