Questão 144 do ENEM 2011 — Matemática

Nosso objetivo é descobrir a área do quadrado $ABCD$ e, em seguida, compará-la com as áreas dos retângulos das alternativas.

Na figura, o quadrado $ABCD$ aparece "inclinado" (girado) sobre uma malha formada por quadradinhos menores, cujo lado vamos chamar de $L$. Os vértices $A$, $B$, $C$ e $D$ estão sobre os pontos da malha, e é isso que nos permite calcular o lado do quadrado.

Encontrando a área do quadrado ABCD

A área de um quadrado é o quadrado da medida do seu lado. Portanto, se descobrirmos o valor de $AD^2$, já teremos a área de $ABCD$.

Como o quadrado está inclinado, o lado $AD$ não coincide com as linhas da malha: ele é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos seguem as direções horizontal e vertical da malha. Basta, então, contar quantos quadradinhos cada cateto ocupa e aplicar o Teorema de Pitágoras.

Pela figura, ao descer na vertical e andar na horizontal para ir de um vértice ao vértice seguinte, os catetos desse triângulo medem $2L$ (na direção maior) e $L$ (na direção menor). Aplicando o Teorema de Pitágoras, com $AD$ como hipotenusa:

$AD^2 = (2L)^2 + (L)^2$ $AD^2 = 4L^2 + L^2$ $AD^2 = 5L^2$

Como a área do quadrado é exatamente $AD^2$, concluímos que a área de $ABCD$ é $5L^2$.

Analisando as alternativas

A área de um retângulo é o produto dos seus lados (base $\times$ altura). Queremos o retângulo cuja área seja igual a $5L^2$:

• A) $2L \cdot 3L = 6L^2$
• B) $3L \cdot 1L = 3L^2$
• C) $3L \cdot 3L = 9L^2$
• D) $4L \cdot 1L = 4L^2$
• E) $5L \cdot 1L = 5L^2$

A única alternativa com área igual a $5L^2$ é a E, referente ao retângulo de lados $5L$ e $1L$.