Questão 158 do ENEM 2015 — Matemática

Entendendo o problema

Queremos contar de quantas maneiras é possível pintar as cinco faixas da bandeira (A, B, C, D e E) com $3$ cores disponíveis (verde, azul e amarelo), respeitando uma única regra: faixas adjacentes (que fazem fronteira) não podem ter a mesma cor.

A ferramenta certa para isso é o Princípio Multiplicativo: analisamos, faixa por faixa, quantas cores ainda são permitidas e multiplicamos essas quantidades no final. O ponto delicado é identificar corretamente quais faixas se tocam, e isso depende da disposição mostrada na figura.

Lendo as adjacências na figura

Pela disposição das faixas na figura, temos as seguintes relações de vizinhança: a faixa A ocupa a lateral e faz fronteira com B, com C e com D; B e C ficam empilhadas à direita de A, com B tocando C; abaixo delas vem a faixa D, que faz fronteira com A e com C; e, por fim, a faixa E, na base, encosta apenas em D.

Com essas adjacências em mãos, aplicamos o Princípio Multiplicativo escolhendo uma ordem de pintura: A, depois B, C, D e E.

Pintando faixa por faixa

Faixa A: é a primeira a ser pintada, sem nenhuma restrição prévia. Qualquer uma das $3$ cores serve.

• Possibilidades para A: $3$

Faixa B: faz fronteira com A, então só não pode repetir a cor de A. Sobram $2$ cores.

• Possibilidades para B: $2$

Faixa C: pela figura, é adjacente a A e a B. Como A e B já têm cores diferentes entre si, duas das três cores ficam proibidas para C, restando exatamente $1$.

• Possibilidades para C: $1$

Faixa D: pela figura, é adjacente a A e a C. Novamente A e C têm cores diferentes, então duas cores ficam proibidas e sobra $1$ para D.

• Possibilidades para D: $1$

Faixa E: encosta apenas em D. A única restrição é não repetir a cor de D, então das $3$ cores restam $2$.

• Possibilidades para E: $2$

Conclusão

Multiplicando as possibilidades de cada etapa: $3 \times 2 \times 1 \times 1 \times 2$

Essa expressão corresponde exatamente à alternativa B.