Questão 169 do ENEM 2016 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos visualizar a geometria da situação descrita. Temos duas esferas (a bocha e o bolim) apoiadas em um plano (o chão da cancha) e encostadas uma na outra.

Vamos começar organizando as informações fornecidas no enunciado:

• Raio da bocha ($R$): $5 \text{ cm}$
• Raio do bolim ($r$): $2 \text{ cm}$

Como as duas esferas estão tangentes (encostadas uma na outra), a distância entre o centro $C$ da bocha e o centro $O$ do bolim é exatamente a soma de seus raios. Portanto, a medida do segmento $CO$ é: $CO = R + r = 5 + 2 = 7 \text{ cm}$

Além disso, sabemos que a altura do centro $C$ em relação ao chão é o próprio raio da bocha ($5 \text{ cm}$), e a altura do centro $O$ em relação ao chão é o raio do bolim ($2 \text{ cm}$).

Para encontrar a distância $d$ entre os pontos de contato $A$ e $B$ no chão, podemos construir um triângulo retângulo. Imagine uma linha horizontal partindo do centro $O$ em direção ao segmento vertical que liga o centro $C$ ao ponto $A$. Vamos chamar o ponto de encontro dessa linha com o segmento vertical de $P$.

Com isso, formamos o triângulo retângulo $CPO$, onde:

• A hipotenusa é o segmento $CO$, que mede $7 \text{ cm}$.
• O cateto horizontal $PO$ tem a mesma medida da distância $d$ que queremos encontrar.
• O cateto vertical $CP$ é a diferença entre as alturas dos dois centros, ou seja, $R - r = 5 - 2 = 3 \text{ cm}$.

Agora, basta aplicar o Teorema de Pitágoras nesse triângulo: $d^2 + 3^2 = 7^2$ $d^2 + 9 = 49$ $d^2 = 49 - 9$ $d^2 = 40$ $d = \sqrt{40}$

Podemos simplificar essa raiz fatorando o número $40$: $d = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10} \text{ cm}$

O comando da questão pede a razão entre a distância $d$ e o raio do bolim ($r$). Substituindo os valores que encontramos, temos: $\text{Razão} = \frac{d}{r} = \frac{2\sqrt{10}}{2} = \sqrt{10}$

Assim, concluímos que a razão procurada é $\sqrt{10}$, o que corresponde à alternativa correta.