Questão 177 do ENEM 2014 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos primeiro entender o padrão de estudo do aluno. O enunciado nos diz que, a cada dia, ele resolve $2$ exercícios a mais do que no dia anterior. Esse comportamento descreve perfeitamente uma Progressão Aritmética (PA), onde a razão ($r$) é igual a $2$.

Sabemos também que no $11^{\circ}$ dia ele resolveu $22$ exercícios. Em termos matemáticos, o décimo primeiro termo da nossa PA é $a_{11} = 22$.

Encontrando o primeiro termo ($a_1$)

Vamos usar a fórmula do termo geral da PA para descobrir quantos exercícios ele resolveu no primeiro dia ($a_1$): $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$

Substituindo os valores que conhecemos para o $11^{\circ}$ dia: $22 = a_1 + (11 - 1) \cdot 2$ $22 = a_1 + 10 \cdot 2$ $22 = a_1 + 20$ $a_1 = 22 - 20$ $a_1 = 2$

Isso significa que ele começou resolvendo $2$ exercícios no primeiro dia.

Calculando o total de dias necessários

O objetivo do aluno é resolver um total de pelo menos $272$ exercícios. Ou seja, a soma de todos os exercícios resolvidos ao longo de $n$ dias ($S_n$) deve ser igual a $272$.

Primeiro, vamos expressar o termo geral $a_n$ em função de $n$: $a_n = 2 + (n - 1) \cdot 2$ $a_n = 2 + 2n - 2$ $a_n = 2n$

Agora, aplicamos a fórmula da soma dos termos de uma PA: $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$

Substituindo $S_n = 272$, $a_1 = 2$ e $a_n = 2n$: $272 = \frac{(2 + 2n) \cdot n}{2}$

Podemos simplificar a expressão dividindo o numerador por $2$: $272 = (1 + n) \cdot n$ $n^2 + n = 272$ $n^2 + n - 272 = 0$

Chegamos a uma equação do segundo grau. Vamos resolvê-la usando a fórmula de Bhaskara. Primeiro, calculamos o discriminante ($\Delta$): $\Delta = b^2 - 4ac$ $\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-272)$ $\Delta = 1 + 1088$ $\Delta = 1089$

Agora, encontramos as raízes: $n = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ $n = \frac{-1 \pm \sqrt{1089}}{2 \cdot 1}$ $n = \frac{-1 \pm 33}{2}$

Como o número de dias não pode ser negativo, descartamos a raiz negativa e calculamos apenas a positiva: $n = \frac{32}{2} = 16$

Portanto, o aluno precisará de um total de $16$ dias de estudo para atingir a meta de $272$ exercícios.

Conclusão

Atenção ao comando da questão! Ela pergunta quantos dias ele ainda precisa para atingir sua meta. Como ele já completou $11$ dias de estudo, basta subtrair esse valor do total de dias necessários: $\text{Dias restantes} = 16 - 11 = 5$

Ele ainda precisa de $5$ dias de estudo.