Questão 138 do ENEM 2020 — Matemática

Para descobrirmos a escala utilizada pelo arquiteto, precisamos comparar as dimensões da maquete com as dimensões reais do edifício. Como a questão nos fornece o volume real da caixa-d'água e as dimensões lineares da maquete, o melhor caminho é comparar os volumes de ambas.

Antes de começarmos os cálculos, é fundamental lembrar de uma propriedade muito importante das escalas: se a escala linear (de comprimento) entre dois objetos é de $1 : k$, a razão entre as áreas desses objetos será de $1 : k^2$ e a razão entre os volumes será de $1 : k^3$.

Calculando o volume da maquete

A caixa-d'água na maquete tem o formato de um paralelepípedo retângulo. O volume ($V$) é calculado multiplicando-se suas três dimensões (comprimento, largura e altura):

$V_{\text{maquete}} = 2 \text{ cm} \cdot 3,51 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm}$ $V_{\text{maquete}} = 8 \cdot 3,51$ $V_{\text{maquete}} = 28,08 \text{ cm}^3$

Convertendo o volume real

O enunciado nos diz que o volume real da caixa-d'água é de $28\,080 \text{ L}$. Para podermos comparar com a maquete, precisamos que ambos os volumes estejam na mesma unidade de medida. Vamos converter o volume real para centímetros cúbicos ($\text{cm}^3$).

Sabemos pelo enunciado que $1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3$. Como $1 \text{ dm} = 10 \text{ cm}$, ao elevarmos essa relação ao cubo para obter o volume, temos que $1 \text{ dm}^3 = (10 \text{ cm})^3 = 1\,000 \text{ cm}^3$. Logo, $1 \text{ L} = 1\,000 \text{ cm}^3$.

Agora, convertendo o volume real:

$V_{\text{real}} = 28\,080 \cdot 1\,000 \text{ cm}^3$ $V_{\text{real}} = 28\,080\,000 \text{ cm}^3$

Descobrindo a escala

Como vimos no início, a razão entre o volume real e o volume da maquete nos dará a constante de proporção volumétrica, que é $k^3$.

$k^3 = \frac{V_{\text{real}}}{V_{\text{maquete}}}$

Substituindo os valores que encontramos:

$k^3 = \frac{28\,080\,000}{28,08}$

Para facilitar essa divisão sem precisar de muito esforço, perceba que $28\,080\,000$ é exatamente o mesmo que $28,08 \cdot 1\,000\,000$. Assim, ao dividir por $28,08$, sobra apenas a potência de dez:

$k^3 = 1\,000\,000$

Cuidado com a armadilha! O valor $1\,000\,000$ representa a escala de volume. A questão pede a escala linear (usada no desenho pelo arquiteto). Para encontrar o valor de $k$, precisamos extrair a raiz cúbica desse resultado:

$k = \sqrt[3]{1\,000\,000}$

Sabemos que $1\,000\,000 = 10^6$, que também pode ser escrito como $(10^2)^3$, ou seja, $100^3$. Portanto:

$k = 100$

Isso significa que cada $1 \text{ cm}$ na maquete equivale a $100 \text{ cm}$ na realidade. A escala linear utilizada pelo arquiteto foi de $1 : 100$.

Alternativa correta: B