Questão 139 do ENEM 2022 — Matemática

Para resolvermos esse problema, precisamos entender como funciona a classificação no quadro de medalhas e analisar a situação do Brasil em relação aos países próximos da 10ª posição.

O critério de desempate segue uma ordem de prioridade estrita:

1. Número de medalhas de Ouro;
2. Número de medalhas de Prata;
3. Número de medalhas de Bronze.

O objetivo é que o Brasil fique exatamente na 10ª posição. Isso significa desempenho superior ao da Austrália (atual 10º lugar) e inferior ao da Hungria (atual 9º lugar).

Os quadros relevantes são:

• Hungria (9º): $8$ Ouros, $4$ Pratas, $5$ Bronzes
• Austrália (10º): $7$ Ouros, $16$ Pratas, $12$ Bronzes
• Brasil (22º): $3$ Ouros, $5$ Pratas, $9$ Bronzes

Passo 1: Analisando as medalhas de Ouro

Para superar a Austrália, o Brasil precisa de pelo menos $7$ medalhas de ouro. Mas o Brasil pode chegar a $8$ ouros? Se conquistasse $8$ ouros, empataria com a Hungria nesse critério, e o desempate iria para as pratas. Como o Brasil já tem $5$ pratas (contra $4$ da Hungria), ele ultrapassaria a Hungria e assumiria a 9ª posição (ou melhor). Como a questão exige a 10ª posição exata, o Brasil não pode ter $8$ ouros. Logo, deve terminar com exatamente $7$ ouros.

Para chegar a $7$ ouros, precisa ganhar: $7 - 3 = 4 \text{ ouros a mais}$

Passo 2: Analisando as medalhas de Prata e Bronze

Com $7$ ouros, o Brasil empata com a Austrália no primeiro critério. Para ultrapassá-la e assumir o 10º lugar, há duas opções:

Opção A: Ultrapassar a Austrália nas Pratas A Austrália tem $16$ pratas, então o Brasil precisaria de no mínimo $17$. Como já tem $5$: $17 - 5 = 12 \text{ pratas a mais}$ Nesse cenário os bronzes não importam, então nenhum bronze extra é necessário.

• Total na Opção A: $4 \text{ (ouros)} + 12 \text{ (pratas)} + 0 \text{ (bronzes)} = 16 \text{ medalhas}$.

Opção B: Empatar nas Pratas e vencer nos Bronzes O Brasil empataria com as $16$ pratas da Austrália: $16 - 5 = 11 \text{ pratas a mais}$ Empatando nas pratas, precisaria vencer nos bronzes. A Austrália tem $12$, então o Brasil precisaria de pelo menos $13$. Como já tem $9$: $13 - 9 = 4 \text{ bronzes a mais}$

• Total na Opção B: $4 \text{ (ouros)} + 11 \text{ (pratas)} + 4 \text{ (bronzes)} = 19 \text{ medalhas}$.

Conclusão

Comparando as possibilidades, o número mínimo de medalhas adicionais é $16$ (sendo $4$ de ouro e $12$ de prata), correspondendo à alternativa D.