Questão 170 do ENEM 2016 — Matemática

Para descobrir a quantidade de lona necessária para a cobertura da tenda, precisamos calcular a área lateral da pirâmide, que é composta por quatro triângulos isósceles idênticos.

A área de um único triângulo é dada pela fórmula: $A_{\text{triângulo}} = \frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2}$

O enunciado nos diz que a base de cada triângulo mede $y$. No entanto, não temos a altura desse triângulo (que, na geometria espacial, chamamos de apótema da pirâmide). Precisamos calculá-la.

Encontrando a altura do triângulo

Imagine um corte na pirâmide que passa pelo seu vértice superior, desce pela haste central e vai até o ponto médio de um dos lados da base. Esse corte forma um triângulo retângulo no interior da pirâmide, onde:

• Um dos catetos é a haste de sustentação, que é a altura da pirâmide e mede $x$.
• O outro cateto é a distância do centro da base quadrada até o meio de um dos lados. Como o lado da base mede $y$, essa distância é exatamente a metade, ou seja, $\frac{y}{2}$.
• A hipotenusa desse triângulo retângulo é justamente a altura do triângulo isósceles da face lateral, que chamaremos de $h$.

Aplicando o Teorema de Pitágoras para encontrar $h$, temos: $h^2 = x^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2$ $h^2 = x^2 + \frac{y^2}{4}$ $h = \sqrt{x^2 + \frac{y^2}{4}}$

Calculando a área total da cobertura

Agora que sabemos a altura $h$ da face triangular, podemos calcular a área de um dos triângulos de lona: $A_{\text{triângulo}} = \frac{y \cdot \sqrt{x^2 + \frac{y^2}{4}}}{2}$

Como a cobertura é formada por quatro desses triângulos, a área total ($A_{\text{total}}$) será quatro vezes a área de um triângulo: $A_{\text{total}} = 4 \cdot \left( \frac{y \cdot \sqrt{x^2 + \frac{y^2}{4}}}{2} \right)$

Simplificando a expressão, dividindo o $4$ pelo $2$ do denominador, obtemos: $A_{\text{total}} = 2y \sqrt{x^2 + \frac{y^2}{4}}$

Essa expressão corresponde exatamente à alternativa A.