Questão 138 do ENEM 2021 — Matemática

ENEM 2021Matemática1ª aplicação
Questão anulada pelo INEP. Esta questão foi anulada e não teve gabarito válido considerado no exame.

A Copa do Brasil teve, até a edição de 2018, 15 times diferentes como campeões da competição, conforme
apresentado na imagem. Suponha que, como homenagem aos times campeões, a Confederação Brasileira de Futebol
(CBF) pretenda colocar um painel na sua sede. Esse painel teria 6 linhas e, em cada uma delas, 5 placas, referentes
a cada edição da competição, com o nome do time vencedor, o brasão e o ano do título. © painel deve ser fabricado
de modo que a primeira linha só tenha clubes gaúchos (Internacional, Grêmio e Juventude); a segunda, apenas times
cariocas (Flamengo, Vasco e Fluminense); a terceira, somente times mineiros (Cruzeiro e Atlético Mineiro);, a quarta,
exclusivamente clubes paulistas (Corinthians, Palmeiras, Santos, Paulista FC, Santo André), e as duas últimas sem
nenhuma restrição.

Qual a expressão determina a quantidade de painéis diferentes que a CBF poderá montar
A
\( \frac{7! \cdot 5! \cdot 7! \cdot 9! \cdot 10!}{5! \cdot 3! \cdot 6! \cdot 3! \cdot 3!} \)
B
\( 7! \cdot 5! \cdot 7! \cdot 9! \cdot 10! \)
C
\(30!\)
D
\(\frac{7!}{5! \cdot 5!} \cdot \frac{7!}{5! \cdot 2!} \cdot \frac{9!}{5! \cdot 4!}\)
E
\( \frac{9!}{3!} \cdot 5! \cdot \frac{7!}{2!} \cdot \frac{9!}{4!} \cdot 10! \)

Resolução comentada

⚠️ Questão anulada pelo INEP

Esta foi uma das questões anuladas mais comentadas do ENEM 2021. O INEP não detalhou a causa, mas professores de matemática apontaram o problema logo após a prova: nenhuma das cinco alternativas correspondia a uma contagem consistente com o enunciado. O modelo de painel descrito é fisicamente incompatível com o número de campeões de cada estado, e o próprio texto era ambíguo sobre a ordem das placas. Sem resposta correta possível, a anulação foi inevitável. Pela TRI, ninguém saiu prejudicado: o item deixou de contar no cálculo da nota de todos.

Para entender por que a montagem não fecha, vamos olhar a estrutura pedida e os dados da imagem.

O painel teria 66 linhas e 55 colunas, ou seja, 3030 espaços — exatamente o total de edições até 20182018. As quatro primeiras linhas têm restrição por estado de origem dos clubes, e as duas últimas ficam sem restrição.

A tabela de campeões da imagem lista os clubes com seus estados e o número de títulos de cada um. Agrupando por estado:

  1. Gaúchos (RS): Grêmio, Internacional e Juventude — juntos, 77 títulos.
  2. Cariocas (RJ): Flamengo, Vasco e Fluminense — juntos, 55 títulos.
  3. Mineiros (MG): Cruzeiro e Atlético Mineiro — juntos, 77 títulos.
  4. Paulistas (SP): Corinthians, Palmeiras, Santos, Paulista FC e Santo André — juntos, 99 títulos.
  5. Outros estados (Criciúma/SC e Sport/PE) — 22 títulos.

O erro estrutural

Cada linha do painel comporta apenas 55 placas. Porém:

  • A 1a1^\text{a} linha deveria conter apenas clubes gaúchos, mas eles somam 77 títulos — impossível caber em 55 espaços.
  • A 3a3^\text{a} linha (mineiros) também soma 77 títulos.
  • A 4a4^\text{a} linha (paulistas) soma 99 títulos.

Apenas a linha dos cariocas (55 títulos) se encaixaria exatamente em sua linha. Como três das quatro linhas restritas exigem mais placas do que a linha comporta, a montagem descrita pelo enunciado é logicamente impossível.

Por que as expressões não fecham

Havendo excesso de placas em várias linhas restritas, uma modelagem realista exigiria combinações (para escolher quais títulos ficam na linha do estado e quais "transbordam" para as duas linhas livres) e depois permutações com repetição (pois placas do mesmo clube são indistinguíveis entre si). Cada escolha de transbordo alteraria o conjunto que sobra para as linhas 55 e 66, gerando uma contagem ramificada.

As alternativas oferecidas, porém, são só produtos e quocientes de fatoriais aplicados diretamente aos totais por estado — como se todas as placas de um estado coubessem em sua linha. Esse formato revela uma tentativa de aplicar permutação com repetição sem considerar o estouro de capacidade das linhas. Por isso o modelo do enunciado contradiz a realidade física do painel, e nenhuma alternativa é válida. A questão foi, então, anulada.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2021 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.