Questão 169 do ENEM 2024 — Matemática

ENEM 2024Matemática1ª aplicação

A criptografia refere-se à construção e análise de protocolos que impedem terceiros de lerem mensagens privadas. Júlio César, imperador romano, utilizava um código para proteger as mensagens enviadas a seus generais. Assim, se a mensagem caísse em mãos inimigas, a informação não poderia ser compreendida. Nesse código, cada letra do alfabeto era substituída pela letra três posições à frente, ou seja, o “A” era substituído pelo “D”, o “B” pelo “E”, o “C” pelo “F”, e assim sucessivamente.

Disponível em: www.codifica.ibict.br. Acesso em: 15 out. 2019.

Qualquer código que tenha um padrão de substituição de letras como o descrito é considerado uma Cifra de César ou um Código de César. Note que, para decifrar uma Cifra de César, basta descobrir por qual letra o “A” foi substituído, pois isso define todas as demais substituições a serem feitas.

Uma mensagem, em um alfabeto de 26 letras, foi codificada usando uma Cifra de César. Considere a probabilidade de se descobrir, aleatoriamente, o padrão utilizado nessa codificação, e que uma tentativa frustrada deverá ser eliminada nas tentativas seguintes.

A probabilidade de se descobrir o padrão dessa Cifra de César apenas na terceira tentativa é dada por
A
\[\frac{1}{25} + \frac{1}{25} + \frac{1}{25}\]
B
\( \frac{24}{25} + \frac{23}{24} + \frac{1}{23} \)
C
\(\frac{1}{25} \times \frac{1}{24} \times \frac{1}{23}\)
D
\(\frac{24}{25} \times \frac{23}{25} \times \frac{1}{25}\)
\( \frac{24}{25} \times \frac{23}{24} \times \frac{1}{23} \)
Resposta correta
Gabarito oficial: alternativa E

Resolução comentada

Para resolver essa questão, precisamos entender o cenário como um experimento de probabilidade sem reposição. Vamos analisar o que significa descobrir o padrão apenas na terceira tentativa.

O Espaço Amostral Inicial

O alfabeto possui 2626 letras. No entanto, para que haja uma codificação real, a letra "A" não pode ser substituída por ela mesma (um deslocamento de zero posições). Logo, restam 2525 possibilidades de substituição para a letra "A". Esse é o nosso total de opções iniciais.

A Sequência de Eventos

Se queremos acertar a chave do código exatamente na terceira tentativa, isso impõe uma ordem estrita de acontecimentos. Nós obrigatoriamente precisamos:

  1. Errar na primeira tentativa;
  2. Errar na segunda tentativa;
  3. Acertar na terceira tentativa.

Como o enunciado afirma que "uma tentativa frustrada deverá ser eliminada", estamos lidando com eventos dependentes, onde o total de opções diminui a cada teste.

Calculando as Probabilidades

Vamos calcular a probabilidade de cada etapa dessa sequência:

Primeira tentativa (Obrigatório errar): Temos 2525 opções no total. Como apenas 11 é a correta, as outras 2424 são incorretas. A probabilidade de escolhermos uma opção errada é: P1=2425P_1 = \frac{24}{25}

Segunda tentativa (Obrigatório errar novamente): Como eliminamos a opção errada testada anteriormente, agora restam 2424 opções no total. Dessas, 2323 são incorretas e 11 continua sendo a correta. A probabilidade de errarmos de novo é: P2=2324P_2 = \frac{23}{24}

Terceira tentativa (Obrigatório acertar): Eliminamos mais uma opção errada. Restam agora 2323 opções no total, sendo que 11 delas é a correta. A probabilidade de finalmente acertarmos é: P3=123P_3 = \frac{1}{23}

A Probabilidade Total

Em probabilidade, quando queremos que eventos sucessivos aconteçam em sequência (um evento E outro evento E outro evento), nós utilizamos o Princípio Multiplicativo, ou seja, multiplicamos as probabilidades individuais.

Multiplicando as frações que encontramos para os três passos, temos: P=2425×2324×123P = \frac{24}{25} \times \frac{23}{24} \times \frac{1}{23}

Note que as alternativas A e B utilizam a soma em vez da multiplicação. A soma seria usada se quiséssemos que um evento OU outro acontecesse, o que não é o caso aqui, pois precisamos que toda a sequência ocorra simultaneamente.

Portanto, a expressão que representa corretamente a probabilidade de descobrir o padrão apenas na terceira tentativa corresponde à alternativa E.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2024 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.