Questão 149 do ENEM 2025 — Matemática

Entendendo o problema

A cúpula pentagonal giralongada é um poliedro de Johnson: todas as suas faces são polígonos regulares. Como conhecemos todas as faces (pela planificação apresentada na figura), podemos usar a relação de Euler para poliedros convexos:

$V - E + F = 2$

onde $V$ é o número de vértices, $E$ o de arestas e $F$ o de faces. A estratégia é contar $F$ e $E$ a partir das faces e, então, isolar $V$.

Passo 1 — Contando as faces ($F$)

Pela planificação mostrada na figura, as faces do poliedro são:

• $1$ decágono (o polígono de $10$ lados, ao centro da planificação);
• $1$ pentágono (o polígono de $5$ lados);
• $5$ quadrados;
• $25$ triângulos.

Somando:

$F = 1 + 1 + 5 + 25 = 32$

Passo 2 — Contando as arestas ($E$)

Cada face contribui com um número de lados igual ao seu número de arestas. Somando os lados de todas as faces:

$10 + 5 + (5 \times 4) + (25 \times 3) = 10 + 5 + 20 + 75 = 110$

Mas atenção: nesse total, cada aresta do poliedro foi contada duas vezes, pois toda aresta é compartilhada por exatamente duas faces vizinhas. Logo, o número real de arestas é a metade:

$E = \frac{110}{2} = 55$

Passo 3 — Aplicando a relação de Euler

Agora isolamos $V$:

$V = 2 + E - F = 2 + 55 - 32 = 25$

Conclusão

O poliedro tem 25 vértices.

A resposta é a alternativa B.