Questão 166 do ENEM 2024 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos entender como a densidade demográfica funciona e como manipular as informações dadas no enunciado. A densidade demográfica é uma razão (uma divisão) entre o número de habitantes e a área de uma região.

Vamos definir as variáveis para a região R, que servirá como nossa base de comparação. Seja $H$ o número de habitantes da região R e $A$ a sua área. Assim, a densidade demográfica da região R, denotada por $d(R)$, é dada por:

$d(R) = \frac{H}{A}$

Agora, vamos analisar a região Q. O enunciado nos fornece duas informações cruciais sobre ela em relação à região R:

1. O número de habitantes de Q é a metade do número de habitantes de R. Ou seja, a população de Q é $\frac{1}{2}H$.
2. A área de Q é igual a três quartos da área de R. Ou seja, a área de Q é $\frac{3}{4}A$.

Com essas informações, podemos montar a expressão para a densidade demográfica da região Q, denotada por $d(Q)$:

$d(Q) = \frac{\frac{1}{2}H}{\frac{3}{4}A}$

Para simplificar essa expressão, podemos separar a parte numérica da parte literal (as variáveis $H$ e $A$):

$d(Q) = \left( \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}} \right) \cdot \frac{H}{A}$

Note que a fração $\frac{H}{A}$ é exatamente a densidade da região R, ou seja, $d(R)$. Portanto, podemos substituir isso na nossa equação:

$d(Q) = \left( \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}} \right) \cdot d(R)$

Agora, o nosso trabalho se resume a resolver a divisão de frações dentro dos parênteses. A regra para dividir uma fração por outra é simples: conservamos a primeira fração (a de cima) e multiplicamos pelo inverso da segunda fração (a de baixo).

Aplicando a regra:

$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}$

Multiplicando os numeradores (os números de cima) e os denominadores (os números de baixo):

$\frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6}$

Por fim, podemos simplificar a fração $\frac{4}{6}$ dividindo o numerador e o denominador por $2$:

$\frac{4 \div 2}{6 \div 2} = \frac{2}{3}$

Substituindo esse valor de volta na nossa equação para $d(Q)$, chegamos à relação final:

$d(Q) = \frac{2}{3} d(R)$

Isso significa que a densidade da região Q equivale a dois terços da densidade da região R. Analisando as alternativas, essa relação corresponde à alternativa E.