Questão 151 do ENEM 2018 — Matemática

O ponto-chave dessa questão é entender como a área de uma figura muda quando reduzimos ou ampliamos suas medidas lineares. Esse é um conceito de semelhança que costuma pregar peças.

O enunciado diz que a fonte original tem tamanho $192$ e que, ao mudar o tamanho da fonte, a letra é alterada na mesma proporção — ou seja, a nova letra é semelhante à original. Queremos que a área a ser pintada caia para $\frac{1}{16}$ da área inicial.

A relação entre comprimento e área

Quando multiplicamos todas as medidas lineares de uma figura por um fator $k$ (razão de semelhança), a área não é multiplicada por $k$, e sim por $k^2$. Isso vale para qualquer figura semelhante, e aqui vale também para os furos circulares, já que o raio $r = \frac{x}{3}$ acompanha o lado $x$ na mesma proporção — a parte pintada inteira escala com $k^2$.

Como sabemos que a área foi multiplicada por $\frac{1}{16}$, podemos escrever: $k^2 = \frac{1}{16}$

Encontrando o fator de redução

Para achar o fator linear $k$, extraímos a raiz quadrada: $k = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$

Ou seja, para a área cair a $\frac{1}{16}$, as medidas lineares — incluindo o tamanho da fonte — precisam cair para $\frac{1}{4}$ do valor original.

Aplicando ao tamanho da fonte

Basta multiplicar o tamanho inicial por esse fator: $\text{novo tamanho} = 192 \cdot \frac{1}{4} = \frac{192}{4} = 48$

Cuidado com a armadilha

O erro mais comum é aplicar a razão da área ($\frac{1}{16}$) diretamente na medida linear, calculando $192 \div 16 = 12$. Isso ignora que área escala com o quadrado da razão linear. Sempre extraia a raiz da razão de áreas antes de aplicá-la ao comprimento.

Portanto, o tamanho adequado da fonte é 48.

Resposta: alternativa B.