Questão 152 do ENEM 2023 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos calcular o nível de intensidade sonora $N$ da nova máquina e, em seguida, verificar em qual intervalo esse valor se encaixa para determinar a medida preventiva adequada.

A fórmula fornecida para o nível de intensidade do som é: $N = \log_{10} I^{10} - \log_{10} I_0^{10}$

Podemos simplificar essa expressão utilizando as propriedades dos logaritmos. A propriedade da potência nos diz que o expoente do logaritmando pode "tombar" multiplicando o logaritmo ($\log_b a^c = c \cdot \log_b a$). Aplicando isso, temos: $N = 10 \cdot \log_{10} I - 10 \cdot \log_{10} I_0$

Colocando o $10$ em evidência: $N = 10 \cdot (\log_{10} I - \log_{10} I_0)$

Agora, usamos a propriedade do quociente ($\log_b a - \log_b c = \log_b \left(\frac{a}{c}\right)$): $N = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$

O enunciado nos fornece os seguintes valores:

• Intensidade da nova máquina: $I = 8 \times 10^{-8} \, \text{W/m}^2$
• Intensidade de referência: $I_0 = 10^{-12} \, \text{W/m}^2$

Substituindo esses valores na nossa fórmula simplificada, calculamos primeiro a razão $\frac{I}{I_0}$: $\frac{I}{I_0} = \frac{8 \times 10^{-8}}{10^{-12}}$

Para dividir potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes: $\frac{I}{I_0} = 8 \times 10^{-8 - (-12)} = 8 \times 10^{-8 + 12} = 8 \times 10^4$

Agora, substituímos esse resultado de volta na equação de $N$: $N = 10 \cdot \log_{10} (8 \times 10^4)$

Para resolver esse logaritmo, utilizamos a propriedade do produto ($\log_b (a \cdot c) = \log_b a + \log_b c$): $N = 10 \cdot (\log_{10} 8 + \log_{10} 10^4)$

Sabemos que $8 = 2^3$. Usando novamente a propriedade da potência: $\log_{10} 8 = \log_{10} 2^3 = 3 \cdot \log_{10} 2$

O enunciado nos diz para usar a aproximação $\log_{10} 2 \approx 0,3$. Portanto: $\log_{10} 8 = 3 \cdot 0,3 = 0,9$

Além disso, pela definição de logaritmo, $\log_{10} 10^4 = 4$.

Substituindo esses valores na equação de $N$: $N = 10 \cdot (0,9 + 4)$ $N = 10 \cdot 4,9$ $N = 49 \, \text{dB}$

Com o valor de $N = 49 \, \text{dB}$, precisamos olhar os intervalos dados no enunciado para classificar o som:

• Medida I: $N \le 48 \, \text{dB}$
• Medida II: $48 \, \text{dB} < N < 55 \, \text{dB}$
• Medida III: $55 \, \text{dB} < N < 80 \, \text{dB}$
• Medida IV: $80 \, \text{dB} < N < 115 \, \text{dB}$
• Medida V: $N > 115 \, \text{dB}$

Como $49 \, \text{dB}$ está no intervalo entre $48 \, \text{dB}$ e $55 \, \text{dB}$, o som é considerado moderado e a medida preventiva a ser adotada é a II.