Questão 136 do ENEM 2020 — Matemática

A Bandeira Nacional tem todas as suas medidas definidas por lei a partir de uma unidade base chamada módulo ($M$). Toda a proporção da bandeira depende só desse valor:

• Largura da bandeira: $14M$
• Comprimento da bandeira: $20M$
• Raio do círculo azul: $3,5M$

O torcedor tem um retalho de tecido verde de $180 \text{ cm} \times 150 \text{ cm}$ e quer a maior bandeira possível cortada desse tecido. Nosso trabalho é descobrir o maior valor de $M$ que ainda cabe no tecido.

Descobrindo o módulo limitante

A bandeira é mais comprida do que larga (comprimento $20M$ contra largura $14M$). Como o tecido tem lados $180$ e $150$, vamos testar as duas formas de encaixar a bandeira.

Hipótese 1 — encaixar o comprimento no lado de $180 \text{ cm}$: $20M = 180 \implies M = \frac{180}{20} = 9 \text{ cm}$ Com $M = 9$, a largura da bandeira seria: $14M = 14 \times 9 = 126 \text{ cm}$ Como $126 \text{ cm} < 150 \text{ cm}$, essa bandeira cabe folgada no tecido. Funciona.

Hipótese 2 — encaixar a largura no lado de $150 \text{ cm}$: $14M = 150 \implies M = \frac{150}{14} \approx 10,7 \text{ cm}$ Com esse $M$, o comprimento da bandeira seria: $20M = 20 \times 10,7 \approx 214 \text{ cm}$ Mas o tecido só tem $180 \text{ cm}$ nesse sentido. Não cabe: faltaria tecido verde.

Portanto, a maior bandeira viável usa $M = 9 \text{ cm}$.

Do módulo ao lado do quadrado azul

A questão pede o lado do menor quadrado de tecido azul necessário para recortar o círculo central. Para um círculo caber inteiro dentro de um quadrado (círculo inscrito), o lado do quadrado precisa ser igual ao diâmetro do círculo.

O raio do círculo azul é $3,5M$: $r = 3,5 \times 9 = 31,5 \text{ cm}$

E o diâmetro é o dobro do raio: $d = 2 \times 31,5 = 63 \text{ cm}$

Logo, o menor quadrado de tecido azul deve ter $63 \text{ cm}$ de lado, o que corresponde à alternativa D.