Questão 142 do ENEM 2016 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos encontrar um ponto no mapa que esteja à mesma distância de três locais específicos. Como estamos lidando com ruas dispostas em uma malha quadriculada, a distância percorrida não é uma linha reta (como a distância euclidiana), mas sim a soma dos deslocamentos horizontais e verticais. Essa métrica é conhecida como "distância de Manhattan" ou distância em blocos.

Identificando os pontos de interesse

Vamos anotar a localização de cada membro da família usando o sistema de coordenadas do mapa (Rua numerada, Rua com letra):

• Mãe: Rua $6$ com Rua $E$
• Pai: Rua $2$ com Rua $E$
• Escola: Rua $4$ com Rua $A$

Encontrando a rua vertical (número)

Observe que o local de trabalho da mãe e o consultório do pai estão na mesma rua horizontal, a Rua $E$. A mãe está na Rua $6$ e o pai na Rua $2$.

Para que a nova casa esteja à mesma distância de ambos, ela precisa estar exatamente no meio do caminho na direção horizontal. A distância entre a Rua $2$ e a Rua $6$ é de $4$ quarteirões ($6 - 2 = 4$). A metade desse caminho é $2$ quarteirões.

Portanto, a casa deve ficar na Rua $4$ (pois $2 + 2 = 4$ e $6 - 2 = 4$). Isso já nos permite eliminar as alternativas A e E. O imóvel só pode estar nas alternativas B, C ou D.

Encontrando a rua horizontal (letra)

Agora sabemos que a casa ficará na Rua $4$. Vamos testar as opções restantes contando os quarteirões até a escola (Rua $4$ com Rua $A$) e até os pais (Rua $2$ ou $6$ com Rua $E$).

Lembre-se de que, estando na Rua $4$, o deslocamento horizontal até o pai ou a mãe será sempre de $2$ quarteirões. Logo, a distância total até os pais será: $2 + \text{deslocamento vertical}$. Já o deslocamento horizontal até a escola será $0$ (pois a escola também está na Rua $4$). Logo, a distância total até a escola será apenas o $\text{deslocamento vertical}$.

Vamos testar a Alternativa C (Rua 4 com Rua D):

• Distância até a Escola (Rua 4 com Rua A): O deslocamento horizontal é $0$. O deslocamento vertical de $D$ até $A$ é de $3$ quarteirões ($D \rightarrow C \rightarrow B \rightarrow A$). Total: $3$ quarteirões.
• Distância até o Pai (Rua 2 com Rua E): O deslocamento horizontal de $4$ até $2$ é de $2$ quarteirões. O deslocamento vertical de $D$ até $E$ é de $1$ quarteirão. Total: $2 + 1 = 3$ quarteirões.
• Distância até a Mãe (Rua 6 com Rua E): O deslocamento horizontal de $4$ até $6$ é de $2$ quarteirões. O deslocamento vertical de $D$ até $E$ é de $1$ quarteirão. Total: $2 + 1 = 3$ quarteirões.

Como a distância é exatamente a mesma ($3$ quarteirões) para os três locais, encontramos o ponto ideal.