Questão 177 do ENEM 2025 — Matemática

Para resolvermos essa questão, precisamos calcular o volume de ouro utilizado em uma única medalha e, em seguida, multiplicar esse valor por $100$, que é a quantidade total de medalhas a serem confeccionadas.

O volume de uma medalha corresponde ao volume de um cilindro com um "furo" no formato de um prisma de base quadrada. Podemos calcular esse volume multiplicando a área da base da região de ouro pela espessura da medalha.

Área da base da região de ouro

A base da medalha é um círculo de diâmetro $6\text{ cm}$, do qual foi retirado um quadrado $ABCD$. Pela figura, notamos que os vértices do quadrado tocam a borda do círculo, o que significa que a diagonal do quadrado é igual ao diâmetro do círculo, ou seja, $6\text{ cm}$.

A área da região de ouro é a diferença entre a área do círculo e a área do quadrado.

Área do círculo: Como o diâmetro é $6\text{ cm}$, o raio $R$ é a metade, ou seja, $3\text{ cm}$. $A_{\text{círculo}} = \pi \cdot R^2$ Substituindo $\pi$ por $3,1$ (conforme o enunciado) e $R$ por $3$: $A_{\text{círculo}} = 3,1 \cdot 3^2 = 3,1 \cdot 9 = 27,9\text{ cm}^2$

Área do quadrado: A área de um quadrado pode ser calculada a partir da sua diagonal $d$ usando a fórmula $A = \frac{d^2}{2}$. Como a diagonal mede $6\text{ cm}$: $A_{\text{quadrado}} = \frac{6^2}{2} = \frac{36}{2} = 18\text{ cm}^2$ (Alternativamente, você poderia usar o Teorema de Pitágoras para achar o lado $l$ do quadrado: $l^2 + l^2 = 6^2 \Rightarrow 2l^2 = 36 \Rightarrow l^2 = 18$. Como a área do quadrado é $l^2$, temos $18\text{ cm}^2$.)

Área da região de ouro: $A_{\text{ouro}} = A_{\text{círculo}} - A_{\text{quadrado}}$ $A_{\text{ouro}} = 27,9 - 18 = 9,9\text{ cm}^2$

Volume de uma medalha

O volume é dado pela área da base multiplicada pela espessura. O enunciado diz que a espessura é de $3\text{ mm}$. Como queremos a resposta em centímetros cúbicos ($\text{cm}^3$), precisamos converter essa medida para centímetros: $3\text{ mm} = 0,3\text{ cm}$

Agora, calculamos o volume de uma medalha: $V_{\text{medalha}} = A_{\text{ouro}} \cdot \text{espessura}$ $V_{\text{medalha}} = 9,9 \cdot 0,3 = 2,97\text{ cm}^3$

Volume total para 100 medalhas

Por fim, multiplicamos o volume de uma medalha pela quantidade desejada: $V_{\text{total}} = 100 \cdot 2,97 = 297\text{ cm}^3$

Portanto, serão necessários $297\text{ cm}^3$ de ouro para confeccionar as $100$ medalhas.