Questão 149 do ENEM 2017 — Matemática

Para resolver esta questão, é preciso lembrar a regra do Campo Minado: o número que aparece em um quadrado aberto indica exatamente quantas minas existem entre os seus $8$ quadrados vizinhos (os que ficam acima, abaixo, aos lados e nas diagonais).

A probabilidade de um quadrado fechado conter uma mina é a razão entre o número de minas esperadas naquela região e a quantidade de quadrados fechados dessa mesma região:

$P = \frac{\text{número de minas na região}}{\text{número de quadrados fechados na região}}$

Os quadrados vizinhos aos números

Segundo o tabuleiro, os quadrados $P$, $Q$, $S$ e $T$ ficam cada um na vizinhança de um dos números revelados. Como os quatro números aparecem afastados uns dos outros, suas vizinhanças não se sobrepõem: cada número tem $8$ quadrados fechados ao redor. Tomando os valores indicados na figura para cada número:

• Quadrado $P$ (vizinho do número $2$): $8$ vizinhos, $2$ minas. $P(P) = \frac{2}{8} = 0,25 \text{ (25\%)}$

• Quadrado $Q$ (vizinho do número $1$): $8$ vizinhos, $1$ mina. $P(Q) = \frac{1}{8} = 0,125 \text{ (12,5\%)}$

• Quadrado $S$ (vizinho do número $4$): $8$ vizinhos, $4$ minas. $P(S) = \frac{4}{8} = 0,5 \text{ (50\%)}$

• Quadrado $T$ (vizinho do número $3$): $8$ vizinhos, $3$ minas. $P(T) = \frac{3}{8} = 0,375 \text{ (37,5\%)}$

Entre esses quatro, o menor valor é o de $Q$. Falta comparar com o quadrado $R$.

O quadrado isolado $R$

Pelo tabuleiro, $R$ não é vizinho de nenhum número revelado. Para estimar a probabilidade de ele conter uma mina, olhamos o tabuleiro inteiro:

1. Total de quadrados: o tabuleiro é $16 \times 16$, ou seja, $256$ quadrados.
2. Quadrados já mapeados: $4$ abertos (os números) mais os $4 \times 8 = 32$ vizinhos deles, totalizando $36$ quadrados de situação conhecida.
3. Quadrados restantes: $256 - 36 = 220$ quadrados, e $R$ é um deles.
4. Minas restantes: o total de minas indicado no tabuleiro é $40$. Nas vizinhanças dos números há $2 + 1 + 4 + 3 = 10$ minas. Sobram $40 - 10 = 30$ minas para os $220$ quadrados restantes.

Assim: $P(R) = \frac{30}{220} = \frac{3}{22} \approx 0,136 \text{ (13,6\%)}$

Conclusão

Comparando os dois menores candidatos:

• $P(Q) = 0,125$
• $P(R) \approx 0,136$

Como $0,125 < 0,136$, e ambos são menores que $P(P)$, $P(S)$ e $P(T)$, o quadrado com a menor probabilidade de conter uma mina é o Q. Resposta: alternativa B.