Questão 173 do ENEM 2016 — Matemática

Para resolvermos essa questão, precisamos focar nas informações geométricas fornecidas no enunciado, ignorando os dados sobre o número e o peso dos blocos, que servem apenas como curiosidade histórica.

Temos uma pirâmide regular de base quadrada. As informações cruciais são:

• A aresta da base (lado do quadrado) mede $l = 214 \text{ m}$.
• A aresta lateral (segmento que liga um vértice da base ao topo da pirâmide) mede $a = 204 \text{ m}$.
• Queremos descobrir a altura $h$ da pirâmide.

Visualizando a Geometria da Pirâmide

Em uma pirâmide regular, a altura $h$ é um segmento de reta que desce do vértice da pirâmide (o topo) e atinge exatamente o centro da base. Como a base é um quadrado, o centro é o ponto de encontro das suas diagonais.

Podemos formar um triângulo retângulo no interior da pirâmide usando três segmentos:

1. A altura da pirâmide ($h$), que será um dos catetos.
2. Metade da diagonal do quadrado da base, que será o outro cateto.
3. A aresta lateral ($a$), que será a hipotenusa.

Calculando a Diagonal da Base

Primeiro, precisamos encontrar a medida da diagonal do quadrado da base. A fórmula para a diagonal $d$ de um quadrado de lado $l$ é: $d = l\sqrt{2}$

Substituindo o valor do lado: $d = 214\sqrt{2} \text{ m}$

O cateto do nosso triângulo retângulo é a metade dessa diagonal: $\text{Metade da diagonal} = \frac{214\sqrt{2}}{2} = 107\sqrt{2} \text{ m}$

Aplicando o Teorema de Pitágoras

Agora, aplicamos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo que identificamos: $(\text{Hipotenusa})^2 = (\text{Cateto}_1)^2 + (\text{Cateto}_2)^2$ $a^2 = h^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2$

Substituindo os valores que conhecemos: $204^2 = h^2 + (107\sqrt{2})^2$

Vamos calcular os quadrados:

• $204^2 = 204 \times 204 = 41616$
• $(107\sqrt{2})^2 = 107^2 \times (\sqrt{2})^2 = 11449 \times 2 = 22898$

Substituindo esses resultados na equação: $41616 = h^2 + 22898$

Isolando o $h^2$: $h^2 = 41616 - 22898$ $h^2 = 18718$

Para encontrar a altura $h$, precisamos extrair a raiz quadrada de $18718$: $h = \sqrt{18718}$

Encontrando o Valor Aproximado

Não precisamos calcular a raiz exata, podemos estimar o valor observando as alternativas e fazendo aproximações:

• Sabemos que $130^2 = 16900$.
• Sabemos que $140^2 = 19600$.

Como $18718$ está entre $16900$ e $19600$, a altura $h$ deve estar entre $130 \text{ m}$ e $140 \text{ m}$.

Olhando para as alternativas fornecidas pela questão: A) $97,0$ B) $136,8$ C) $173,7$ D) $189,3$ E) $240,0$

A única alternativa que se encontra no intervalo entre $130$ e $140$ é a alternativa B. Se quisermos ter ainda mais certeza, podemos notar que $18718$ está mais próximo de $19600$ do que de $16900$, o que faz sentido com o valor de $136,8$ (que está mais próximo de $140$ do que de $130$).