Questão 164 do ENEM 2018 — Matemática

Entendendo o problema

A anticlepsidra é o sólido que sobra quando retiramos de um cilindro equilátero (aquele em que a altura é igual ao diâmetro da base) dois cones opostos pelo vértice: cada cone tem a base coincidindo com uma das bases do cilindro, e ambos os vértices se encontram no centro do cilindro. O que resta é o "miolo" do cilindro que fica por fora desses dois cones.

O enunciado avisa que esse mesmo sólido também pode ser obtido pela rotação de uma figura plana em torno de um eixo. Nossa tarefa é achar qual das figuras planas, girando $360^\circ$ em torno do eixo indicado, reconstrói a anticlepsidra.

A ideia da geratriz por revolução

Um sólido de revolução é gerado por uma região plana que gira em torno de um eixo. Para descobrir essa região, o caminho é pensar na seção axial do sólido — o corte que passa exatamente pelo eixo — e tomar apenas a metade dela, aquela que fica de um lado do eixo. É essa metade, apoiada sobre o eixo, que ao girar recompõe o sólido inteiro.

Vamos então cortar a anticlepsidra por um plano que contém o eixo. A seção axial do cilindro equilátero é um retângulo (na verdade um quadrado, pois altura = diâmetro). Ao retirar os dois cones, o corte de cada cone é um triângulo: um par de triângulos que apontam para dentro, a partir do meio de cada lado vertical em direção ao centro. Logo, a seção axial da anticlepsidra é o retângulo com dois triângulos removidos nas extremidades ligadas ao eixo.

Ficando com metade

Como o eixo de rotação passa pelo centro dessa seção, tomamos apenas o lado direito (ou esquerdo) dela. Nessa metade, o que resta do retângulo depois de tirar o pedaço triangular junto ao eixo é uma região que se apoia sobre o eixo e se afasta dele conforme sobe e desce — exatamente a geratriz que, girando, devolve o material que existe entre o cilindro (parte externa) e os cones (parte interna vazia).

Conclusão

A figura plana com essa forma, apoiada sobre o eixo de rotação, é a que consta na alternativa B. Rotacionando-a $360^\circ$ em torno do eixo, obtemos precisamente a região sólida compreendida entre o cilindro e os dois cones opostos, ou seja, a anticlepsidra.

Portanto, a resposta é a alternativa B.