Questão 153 do ENEM 2018 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos calcular a área da região do passeio, que é o espaço entre dois círculos concêntricos. Na matemática, chamamos essa figura geométrica de coroa circular.

Entendendo a Coroa Circular

A área do passeio é a diferença entre a área do círculo maior (a praça inteira) e a área do círculo menor (o chafariz). Se chamarmos o raio do círculo maior de $R$ e o raio do círculo menor de $r$, a fórmula da área ($A$) fica:

$A = \pi R^2 - \pi r^2$

Colocando o $\pi$ em evidência, temos:

$A = \pi (R^2 - r^2)$

Guarde bem essa equação. O nosso objetivo não é descobrir os valores isolados de $R$ e $r$, mas sim o valor da expressão inteira $(R^2 - r^2)$.

A Geometria da Situação

O engenheiro mediu um segmento de reta $AB$ que é tangente ao chafariz e mede $16\text{ m}$. Vamos visualizar um triângulo retângulo escondido na figura para relacionar essa medida com os raios.

1. Trace uma reta do centro dos círculos até o ponto onde o segmento $AB$ toca o chafariz. Essa reta é o raio menor ($r$). Por ser o ponto de tangência, essa reta forma um ângulo de $90^\circ$ com o segmento $AB$ e o divide exatamente ao meio. Portanto, metade do segmento mede $8\text{ m}$.
2. Agora, trace uma reta do centro dos círculos até a extremidade $A$ (ou $B$) do segmento. Essa reta vai do centro até a borda da praça, logo, é o raio maior ($R$).

Acabamos de formar um triângulo retângulo onde:

• A hipotenusa é $R$
• Um dos catetos é $r$
• O outro cateto é $8$

Aplicando o Teorema de Pitágoras

Usando a relação do triângulo retângulo, temos:

$R^2 = r^2 + 8^2$ $R^2 = r^2 + 64$

O Pulo do Gato

Lembra da nossa fórmula da área da coroa circular? Precisávamos do valor de $(R^2 - r^2)$. Olhando para a equação que acabamos de montar com Pitágoras, basta passar o $r^2$ para o outro lado da igualdade subtraindo:

$R^2 - r^2 = 64$

Pronto! Sem precisar calcular os raios individualmente (como o próprio enunciado avisou que seria impossível), descobrimos a diferença exata entre os quadrados deles.

Cálculo Final

Agora é só substituir esse valor na fórmula da área:

$A = \pi (R^2 - r^2)$ $A = \pi \cdot 64$ $A = 64\pi$

A medida encontrada pelo engenheiro para a área do passeio foi de $64\pi\text{ m}^2$.

Dica extra de raciocínio lógico: Como a questão afirma que não há condições de calcular os raios, a resposta deve ser a mesma para qualquer tamanho de chafariz, desde que a corda meça $16\text{ m}$. Imagine o chafariz encolhendo até virar apenas um ponto no centro ($r = 0$). Nesse caso extremo, a corda de $16\text{ m}$ passa a ser o próprio diâmetro da praça. Se o diâmetro é $16$, o raio $R$ é $8$. A área da praça seria simplesmente a área desse círculo: $A = \pi \cdot 8^2 = 64\pi$. O resultado se confirma de forma rápida e lógica!