Questão 160 do ENEM 2014 — Matemática

Esta questão trabalha a visualização espacial: precisamos entender o que é uma projeção ortogonal e aplicar isso ao formato do corrimão de uma escada em caracol.

O que é projeção ortogonal?

Imagine o piso da casa como uma folha em branco e uma fonte de luz no teto, exatamente acima da escada, projetando os raios perpendicularmente ao chão (ângulo de $90^\circ$). A projeção ortogonal do corrimão é a "sombra" que ele deixaria nesse piso — ou, de forma equivalente, é a escada vista perfeitamente de cima para baixo (vista superior).

O formato do corrimão

O corrimão de uma escada em caracol tem a forma de uma hélice cilíndrica: ele sobe girando em torno de um eixo central, mantendo sempre a mesma distância desse eixo (raio constante). Um fato geométrico importante decorre daí: a projeção ortogonal de uma hélice cilíndrica sobre um plano perpendicular ao seu eixo é sempre um arco de circunferência de raio constante — nunca uma espiral (que teria raio variável) nem uma curva que se cruza.

Isso já permite descartar as figuras que representam espirais ou trajetórias que se autointersectam: por mais que, no desenho em perspectiva, o corrimão pareça "fechar" para dentro conforme sobe, isso é apenas efeito de perspectiva; o raio real não muda.

Quanto o corrimão gira?

Falta descobrir a medida do arco. Para isso, acompanhamos, na figura, os pontos de sustentação do corrimão do início ($A$) até o fim ($E$), contando quantos quartos de volta ($90^\circ$ cada) ele descreve em torno do eixo.

Seguindo esses pontos ao redor do eixo, o corrimão descreve três desses quartos de volta — ou seja, três quadrantes — sem completar o círculo inteiro. Em graus: $3 \times 90^\circ = 270^\circ$

Ou seja, a projeção é um arco de circunferência correspondente a três quartos de volta ($270^\circ$).

Conclusão

A figura correta é a que mostra um arco de circunferência de raio constante cobrindo $270^\circ$: a alternativa C. As demais falham por representarem um arco menor (um quarto ou meia volta), uma espiral de raio variável ou uma curva que se cruza — nenhuma delas compatível com a projeção de uma hélice cilíndrica que gira três quartos de volta.