Questão 148 do ENEM 2025 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos visualizar a geometria da situação e calcular duas áreas: a área total da tampa (como se fosse inteira) e a área do buraco circular que será recortado.

Dimensões da tampa da caixa

O enunciado afirma que a bola tangencia as faces laterais da caixa. Como a base da caixa é um quadrado e a bola é uma esfera com diâmetro de $30\text{ cm}$, a medida do lado da base quadrada deve ser exatamente igual ao diâmetro da bola. Portanto, a tampa da caixa é um quadrado de lado $30\text{ cm}$.

A área total dessa tampa, se não houvesse a abertura, seria a área do quadrado: $A_{\text{quadrado}} = 30^2$

O raio da abertura circular

Agora, precisamos determinar a área da abertura circular. Para isso, vamos descobrir o raio desse círculo, que é formado pela interseção da esfera com o plano da tampa.

Sabemos que a bola tangencia a base inferior da caixa. Isso significa que o centro da esfera está a uma altura igual ao seu raio em relação ao fundo da caixa. Como o diâmetro é $30\text{ cm}$, o raio da esfera é $R = 15\text{ cm}$. Logo, o centro da esfera está a $15\text{ cm}$ de altura.

A tampa da caixa está a uma altura de $27\text{ cm}$ (que é a altura total da caixa). A distância ($d$) do centro da esfera até a tampa da caixa é a diferença entre essas alturas: $d = 27 - 15 = 12\text{ cm}$

Podemos encontrar o raio ($r$) da abertura circular usando o Teorema de Pitágoras. Imagine um triângulo retângulo formado pelo raio da esfera ($R$), a distância do centro ao plano da tampa ($d$) e o raio do círculo da seção ($r$): $R^2 = d^2 + r^2$ $15^2 = 12^2 + r^2$ $225 = 144 + r^2$ $r^2 = 225 - 144$ $r^2 = 81$ $r = 9\text{ cm}$

Área final da tampa

A área da abertura circular é dada pela fórmula da área do círculo ($A = \pi \cdot r^2$): $A_{\text{círculo}} = \pi \cdot 9^2$

Por fim, a área da tampa da caixa será a área do quadrado subtraída da área da abertura circular que se ajusta à bola: $A_{\text{tampa}} = A_{\text{quadrado}} - A_{\text{círculo}}$ $A_{\text{tampa}} = 30^2 - \pi \cdot 9^2$

Essa expressão corresponde exatamente ao que temos na alternativa D.