Questão 137 do ENEM 2010 — Matemática

Para encontrar o menor caminho entre dois pontos, vale uma regra fundamental da geometria: em um plano, a menor distância entre dois pontos é sempre um segmento de reta.

O desafio aqui é que a situação é tridimensional. Os pontos $A$ e $B$ estão em superfícies diferentes do salão, que tem o formato de um prisma retangular: $A$ fica numa parede (face lateral) e $B$ no teto. O cabo deve percorrer justamente essas duas superfícies, que se encontram formando um ângulo de $90^\circ$.

Como aplicar a ideia de "segmento de reta" em superfícies que fazem um canto entre si? A técnica adequada é a planificação: desdobramos as faces por onde o cabo passa, transformando o percurso tridimensional em uma figura plana (bidimensional).

Imagine que a aresta em que a parede encontra o teto funciona como uma dobradiça. Ao "abrir" essa dobradiça — deitando a parede sobre o mesmo plano do teto, por exemplo —, os dois retângulos (parede e teto) passam a ficar lado a lado num único plano, unidos por essa aresta comum.

Com a parede e o teto já planificados no mesmo plano, o menor caminho entre $A$ e $B$ é, necessariamente, uma única linha reta contínua que liga os dois pontos e cruza a aresta que separa as duas faces.

Aplicando esse conceito, a alternativa correta é aquela cuja figura mostra a planificação da parede e do teto com um único segmento de reta contínuo unindo $A$ e $B$. Qualquer representação com "quebras", desvios ou trechos em ângulo reto corresponde a um trajeto mais longo do que o segmento reto direto e, portanto, não representa o menor comprimento.

Portanto, a representação plana que fornece o menor comprimento para o cabo é a da alternativa E.