Questão 154 do ENEM 2015 — Matemática

Para achar a expressão de $h$, precisamos traduzir em equações as condições descritas: o eixo $x$ divide a altura $h$ ao meio e a curva que contorna o vidro é $y = \log(x)$ (logaritmo na base $10$).

Montando a relação entre h e n

Como o eixo $x$ divide $h$ ao meio, o topo do vidro está em $y = \frac{h}{2}$ e a base do vidro está em $y = -\frac{h}{2}$. Pela definição de logaritmo, de $y = \log(x)$ vem $x = 10^{y}$. Logo, as abscissas dos pontos superior e inferior da curva são:

$x_2 = 10^{\,h/2} \qquad \text{e} \qquad x_1 = 10^{\,-h/2}$

Pela geometria descrita, a medida $n$ da base corresponde à diferença entre essas duas abscissas:

$n = x_2 - x_1 = 10^{\,h/2} - 10^{\,-h/2}$

Resolvendo para h

Para simplificar, chame $k = 10^{\,h/2}$. Então $10^{\,-h/2} = \frac{1}{k}$ e a equação vira:

$n = k - \frac{1}{k}$

Multiplicando por $k$ (com $k \neq 0$):

$nk = k^2 - 1 \;\Rightarrow\; k^2 - nk - 1 = 0$

Aplicando a fórmula de Bhaskara na variável $k$:

$k = \frac{n \pm \sqrt{n^2 + 4}}{2}$

Como $k = 10^{\,h/2}$ é uma potência de base positiva, temos $k > 0$. Já que $\sqrt{n^2 + 4} > n$, a raiz com sinal de menos seria negativa e deve ser descartada. Fica:

$10^{\,h/2} = \frac{n + \sqrt{n^2 + 4}}{2}$

Aplicando logaritmo aos dois lados e isolando $h$:

$\frac{h}{2} = \log\left( \frac{n + \sqrt{n^2 + 4}}{2} \right) \;\Rightarrow\; h = 2\log\left( \frac{n + \sqrt{n^2 + 4}}{2} \right)$

Essa é exatamente a expressão da alternativa E.