Questão 152 do ENEM 2013 — Matemática

A questão nos apresenta a função de uma parábola $f(x) = \frac{3}{2}x^2 - 6x + C$ e nos dá uma informação crucial para a resolução: o vértice $V$ dessa parábola está localizado sobre o eixo $x$.

O que significa o vértice estar sobre o eixo $x$?

No plano cartesiano, qualquer ponto que esteja sobre o eixo $x$ possui a sua coordenada $y$ igual a zero. Portanto, se o vértice da parábola está no eixo $x$, sabemos que a coordenada $y$ do vértice ($y_v$) é igual a $0$.

Para encontrar o valor de $C$, podemos seguir por dois caminhos diferentes, ambos baseados nas propriedades das funções do segundo grau.

Método 1: Encontrando as coordenadas do vértice

Primeiro, vamos calcular a coordenada $x$ do vértice, conhecida como $x_v$. A fórmula para encontrá-la é: $x_v = -\frac{b}{2a}$

Na função dada, os coeficientes são $a = \frac{3}{2}$ e $b = -6$. Substituindo esses valores na fórmula, temos: $x_v = -\frac{-6}{2 \cdot \frac{3}{2}}$ $x_v = \frac{6}{3}$ $x_v = 2$

Agora sabemos que o vértice ocorre quando $x = 2$. Como estabelecemos que a coordenada $y$ do vértice é zero, isso significa que $f(2) = 0$. Vamos substituir $x = 2$ na função original para encontrar $C$: $f(2) = \frac{3}{2}(2)^2 - 6(2) + C$ $0 = \frac{3}{2}(4) - 12 + C$ $0 = 3 \cdot 2 - 12 + C$ $0 = 6 - 12 + C$ $0 = -6 + C$ $C = 6$

Método 2: Usando o discriminante ($\Delta$)

Outra forma de pensar é lembrar que, se a parábola tem seu vértice sobre o eixo $x$, ela toca esse eixo em exatamente um único ponto. Isso significa que a equação do segundo grau $\frac{3}{2}x^2 - 6x + C = 0$ possui duas raízes reais e iguais (ou seja, apenas uma raiz real).

Para que isso aconteça, o discriminante da equação (o famoso $\Delta$) deve ser obrigatoriamente igual a zero.

Sabemos que a fórmula do discriminante é $\Delta = b^2 - 4ac$. Substituindo os coeficientes da nossa função e igualando a zero, temos: $(-6)^2 - 4 \cdot \left(\frac{3}{2}\right) \cdot C = 0$ $36 - 2 \cdot 3 \cdot C = 0$ $36 - 6C = 0$ $6C = 36$ $C = \frac{36}{6}$ $C = 6$

Ambos os raciocínios nos levam à mesma conclusão. A altura do líquido contido na taça, representada pela constante $C$, é de $6\text{ cm}$.