Questão 137 do ENEM 2019 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos determinar o intervalo de valores da concentração de íons hidrogênio, representada por $x$, que resulta na flor cor-de-rosa de maior valor comercial.

Primeiro, vamos organizar as informações dadas no enunciado sobre o pH do solo:

• Para a flor ser cor-de-rosa, o solo deve ser alcalino, ou seja, $pH > 7$.
• A flor cor-de-rosa mais valorizada comercialmente é produzida em solo com $pH < 8$.

Juntando essas duas condições, concluímos que o pH ideal para essa flor deve estar entre $7$ e $8$. Matematicamente, podemos escrever essa condição como uma inequação simultânea: $7 < pH < 8$

O enunciado também nos fornece a fórmula que relaciona o pH com a concentração de íons hidrogênio $x$: $pH = -\log_{10} x$

Agora, substituímos essa fórmula na nossa inequação: $7 < -\log_{10} x < 8$

Nosso objetivo é isolar o $x$. O primeiro passo é multiplicar toda a inequação por $-1$. Lembre-se de que, ao multiplicar uma inequação por um número negativo, devemos inverter os sinais de desigualdade: $-7 > \log_{10} x > -8$

Podemos reescrever essa mesma inequação da menor para a maior extremidade para facilitar a leitura: $-8 < \log_{10} x < -7$

Para eliminar o logaritmo e encontrar os valores de $x$, aplicamos a definição e as propriedades dos logaritmos. Como a base do logaritmo é $10$ (que é maior que $1$), a função é crescente e a desigualdade se mantém ao passarmos para a forma exponencial: $10^{-8} < x < 10^{-7}$

Portanto, para produzir a Hydrangea cor-de-rosa de maior valor comercial, o solo deve ser preparado de modo que a concentração $x$ assuma valores maiores que $10^{-8}$ e menores que $10^{-7}$.