Questão 163 do ENEM 2010 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos analisar dois movimentos que acontecem simultaneamente quando o rolo cilíndrico gira: o movimento do centro do rolo em relação ao chão e o movimento do bloco em relação ao centro do rolo.

Primeiro, vamos pensar apenas no rolo. Quando um cilindro de raio $R$ dá uma volta completa sem deslizar sobre o chão, o seu centro se desloca horizontalmente por uma distância exatamente igual ao comprimento da sua circunferência. Como o comprimento de uma circunferência é dado pela fórmula $C = 2\pi R$, o centro do rolo avança uma distância de $2\pi R$ em relação ao solo.

Agora, vamos pensar no bloco de pedra que está apoiado sobre o rolo. Se o rolo estivesse apenas deslizando para frente (sem girar), o bloco acompanharia o centro do rolo e também se deslocaria $2\pi R$. No entanto, o rolo está girando. Ao dar uma volta completa, toda a superfície lateral do cilindro entra em contato com a base do bloco, "desenrolando-se" sob ele. Isso significa que, apenas devido à rotação, o rolo empurra o bloco para frente por uma distância adicional igual ao seu perímetro, ou seja, mais $2\pi R$ em relação ao centro do rolo.

Portanto, o deslocamento total $y$ do bloco em relação ao chão é a soma desses dois efeitos:

1. O deslocamento do centro do rolo: 2\pi R\
2. O deslocamento do bloco em relação ao centro do rolo (devido à rotação): $2\pi R$

Somando os dois, temos a equação do deslocamento total: $y = 2\pi R + 2\pi R$ $y = 4\pi R$

Uma visão alternativa (usando velocidades)

Podemos pensar também nos pontos de contato. O ponto do rolo que toca o chão tem velocidade zero no instante do contato (pois não há deslizamento). O centro do rolo se move com uma certa velocidade $v$. O ponto mais alto do rolo (que está em contato com o bloco) está a uma distância do chão que é o dobro da distância do centro ao chão ($2R$ contra $R$). Por causa dessa proporção, o ponto mais alto se move com o dobro da velocidade do centro ($2v$).

Se a velocidade do bloco é sempre o dobro da velocidade do centro do rolo, o seu deslocamento no mesmo intervalo de tempo também será o dobro. Como o centro se desloca $2\pi R$ em uma volta completa, o bloco se deslocará: $y = 2 \cdot (2\pi R) = 4\pi R$