Questão 164 do ENEM 2013 — Matemática

Esta questão pede a imagem que resulta de aplicar uma transformação geométrica à figura original em torno do ponto $O$. Comparando com as alternativas, a transformação é uma rotação de $180^\circ$ em torno de $O$ — também chamada de simetria central.

Vamos usar as propriedades dessa transformação para chegar à alternativa correta.

1. Para onde a figura vai

Numa rotação de $180^\circ$ em torno de $O$, cada ponto $P$ é levado ao ponto $P'$ tal que $O$ é o ponto médio do segmento $PP'$. Ou seja, a figura toda é levada para o lado diametralmente oposto de $O$: o que estava acima e à esquerda passa para abaixo e à direita, mantendo a mesma distância de $O$.

Na figura original (mostrada na questão), o quadrado está encostado em $O$, que é um dos seus cantos. Após o giro, o quadrado deve aparecer no lado oposto de $O$, ainda encostado nele por esse ponto. Isso já elimina as alternativas em que a figura não vai para a posição oposta.

2. O que a rotação de $180^\circ$ preserva e o que ela inverte

Duas propriedades são decisivas para distinguir a rotação correta de uma reflexão:

• A inclinação das retas é preservada. Uma reta e sua imagem por rotação de $180^\circ$ são paralelas. Então a diagonal que separa as duas cores dentro da faixa colorida deve manter a mesma direção (mesma inclinação) na figura girada. Uma reflexão, ao contrário, inverteria essa inclinação — é assim que se reconhece a alternativa que corresponde a um espelhamento em vez de uma rotação.
• As posições relativas se invertem em bloco. Cima vira baixo e esquerda vira direita ao mesmo tempo. Assim, a faixa de cor e a faixa branca trocam de lado em relação a $O$, e cada região colorida vai para a posição oposta, sem que a figura seja "espelhada".

3. Escolhendo a alternativa

Com esses dois critérios, basta comparar com as imagens das alternativas e escolher aquela em que, simultaneamente:

1. o quadrado aparece no lado oposto de $O$ (diametralmente);
2. a diagonal que divide as cores mantém a mesma inclinação da original (sem espelhamento);
3. as regiões coloridas ocupam as posições opostas às de origem.

A alternativa que satisfaz as três condições ao mesmo tempo é a única compatível com uma rotação de $180^\circ$. As demais falham em pelo menos um ponto: ou deixam a figura no lado errado, ou invertem a inclinação da diagonal (o que caracterizaria uma reflexão, e não uma rotação).

O gabarito é a letra E.