Questão 168 do ENEM 2018 — Matemática

ENEM 2018Matemática2ª aplicação

A inclinação de um telhado depende do tipo e da marca das telhas escolhidas. A figura é o esboço do telhado da casa de um específico proprietário. As telhas serão apoiadas sobre a superfície quadrada plana $ABCD$, sendo $BOC$ um triângulo retângulo em $O$. Sabe-se que $h$ é a altura do telhado em relação ao forro da casa (a figura plana $ABOE$), $b = 10$ é o comprimento do segmento $OB$, e $d$ é a largura do telhado (segmento $AB$), todas as medidas dadas em metro.

Esboço tridimensional de um telhado inclinado sobre uma base retangular. Os pontos A, B, C, D e E definem a estrutura. O triângulo BOC é retângulo em O, com altura h e base b. O segmento AB representa a largura d.

Disponível em: www.toptelha.com.br. Acesso em: 31 jul. 2012.

Sabe-se que, em função do tipo de telha escolhida pelo proprietário, a porcentagem $i$ de inclinação ideal do telhado, descrita por meio da relação $i = \frac{h \times 100}{b}$, é de $40\%$, e que a expressão que determina o número $N$ de telhas necessárias na cobertura é dada por $N = d^2 \times 10,5$. Além disso, essas telhas são vendidas somente em milheiros.

O proprietário avalia ser fundamental respeitar a inclinação ideal informada pelo fabricante, por isso argumenta ser necessário adquirir a quantidade mínima de telhas correspondente a

um milheiro.

dois milheiros.

Resposta correta

três milheiros.

seis milheiros.

oito milheiros.

Gabarito oficial: alternativa B

Resolução comentada

O cálculo tem dois passos: primeiro achar o número total de telhas $N$ e depois converter esse total para a unidade de venda, o milheiro (lotes de $1.000$ telhas).

Passo 1 — encontrar a altura $h$

O enunciado dá a fórmula da inclinação $i = \dfrac{h \times 100}{b}$ e informa que a inclinação ideal é de $40\%$ . Como a fórmula já multiplica por $100$ para expressar o resultado em porcentagem, usamos $i = 40$ . Com $b = 10\text{ m}$ :

$40 = \frac{h \times 100}{10}$

$40 = h \times 10$

$h = \frac{40}{10} = 4\text{ m}$

Passo 2 — usar Pitágoras no triângulo $BOC$

O triângulo $BOC$ é retângulo em $O$ , com catetos $OB = b = 10\text{ m}$ e $OC = h = 4\text{ m}$ . A hipotenusa é o segmento $BC$ :

$BC^2 = OB^2 + OC^2$

$BC^2 = 10^2 + 4^2 = 100 + 16 = 116$

Não precisamos extrair a raiz — e já se vê o porquê. A superfície do telhado $ABCD$ é um quadrado, então todos os seus lados são iguais. Logo, a largura $d = AB$ tem a mesma medida de $BC$ , e portanto:

$d^2 = BC^2 = 116$

Passo 3 — calcular o número de telhas

Com a expressão $N = d^2 \times 10,5$ :

$N = 116 \times 10,5 = 1.218 \text{ telhas}$

Passo 4 — converter para milheiros

São necessárias $1.218$ telhas, mas elas só são vendidas em milheiros (pacotes fechados de $1.000$ unidades). Um único milheiro ( $1.000$ telhas) não cobre a demanda de $1.218$ ; assim, para garantir a quantidade mínima necessária, o proprietário é obrigado a comprar o pacote seguinte, totalizando $2$ milheiros ( $2.000$ telhas).

Portanto, a resposta é a alternativa B.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2018 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.