Questão 179 do ENEM 2017 — Matemática

Para resolver, precisamos do conceito de projeção ortogonal. Imagine uma luz muito forte incidindo perpendicularmente de cima para baixo sobre o quarto: a projeção ortogonal de uma trajetória no chão é a 'sombra' que ela produz sobre o piso.

Pela figura, o chão é o retângulo $ABCD$ e o teto é o retângulo $EFGH$, com cada vértice do teto exatamente sobre o vértice correspondente do chão (por exemplo, $E$ sobre $A$, $H$ sobre $D$). O ponto $M$ é o ponto médio de $EF$, no teto. Vamos projetar cada trecho do trajeto da lagartixa.

Trecho 1: de $B$ até $A$

A lagartixa parte de $B$ e vai até $A$. Como os dois pontos já estão no chão, a trajetória é o próprio segmento $BA$, e a projeção de algo que já está no piso é ele mesmo. Logo, a primeira parte da figura projetada é o segmento $AB$ completo, sobre a base.

Trecho 2: de $A$ até $M$

Em seguida a lagartixa sobe a parede $ABFE$, de $A$ (no chão) até $M$ (no teto, ponto médio de $EF$). Vista de cima, toda essa parede projeta-se sobre a linha $AB$ do chão. Como $M$ é o ponto médio de $EF$, sua sombra cai no ponto médio de $AB$. Assim, a projeção do trecho $AM$ é um segmento que vai de $A$ até o meio de $AB$ — ou seja, apenas se sobrepõe à linha já traçada no trecho 1.

Trecho 3: de $M$ até $H$

Por fim, a lagartixa anda em linha reta pelo teto, de $M$ até $H$. Já vimos que a projeção de $M$ é o ponto médio de $AB$. A projeção de $H$, por sua vez, é o vértice $D$ do chão (pois $H$ está diretamente acima de $D$). Como o percurso no teto é reto, sua sombra também é uma reta: um segmento ligando o ponto médio de $AB$ ao vértice $D$.

Juntando as projeções

Sobre o retângulo do chão $ABCD$, o desenho final é composto por:

1. o segmento $AB$ completo, na base;
2. uma diagonal partindo exatamente do ponto médio de $AB$ em direção ao vértice $D$.

A figura que representa corretamente esse resultado — um segmento horizontal (a base $AB$) com uma diagonal saindo do seu ponto médio — corresponde ao gabarito, a alternativa B.