Questão 149 do ENEM 2020 — Matemática

A questão nos apresenta a Lei de Zipf, dada pela equação: $f = \frac{A}{r^B}$

O nosso objetivo é reescrever essa relação em termos de duas novas variáveis fornecidas pelo enunciado: $X = \log(r)$ e $Y = \log(f)$. Para fazer isso, precisamos aplicar a função logaritmo em ambos os lados da equação original e, em seguida, utilizar as propriedades operatórias dos logaritmos para manipular a expressão.

Aplicando o logaritmo em ambos os lados da equação, temos: $\log(f) = \log\left(\frac{A}{r^B}\right)$

Agora, precisamos lembrar de duas propriedades fundamentais dos logaritmos:

1. Logaritmo do quociente: O logaritmo de uma divisão é igual à diferença dos logaritmos. Ou seja, $\log\left(\frac{m}{n}\right) = \log(m) - \log(n)$.
2. Logaritmo da potência: O expoente do logaritmando pode passar multiplicando o logaritmo. Ou seja, $\log(m^k) = k \cdot \log(m)$.

Aplicando a primeira propriedade (logaritmo do quociente) no lado direito da nossa equação, separamos a divisão: $\log(f) = \log(A) - \log(r^B)$

Em seguida, aplicamos a segunda propriedade (logaritmo da potência) no termo $\log(r^B)$, passando o expoente $B$ para a frente do logaritmo: $\log(f) = \log(A) - B \cdot \log(r)$

Por fim, o enunciado nos diz que $Y = \log(f)$ e $X = \log(r)$. Substituindo essas variáveis na equação que acabamos de encontrar, obtemos a relação final: $Y = \log(A) - B \cdot X$

Esse procedimento é conhecido como linearização, uma técnica muito comum nas ciências para transformar curvas complexas (como as leis de potência) em relações lineares (equações de reta), que são muito mais simples de analisar e interpretar graficamente. Comparando o nosso resultado com as opções disponíveis, encontramos a alternativa correta.