Questão 150 do ENEM 2010 — Matemática

Para resolvermos essa questão, precisamos calcular o custo total de cada uma das encomendas feitas pela artista plástica. O custo total é composto por três partes: o valor da tela (que depende da área), o valor da moldura (que depende do perímetro) e a taxa fixa de entrega.

Antes de começarmos os cálculos, é fundamental convertermos as medidas dos quadros de centímetros para metros, já que os preços dados pela loja estão em reais por metro quadrado (\text{R\ } 20,00/\text{m}^2$) e reais por metro linear ($\text{R$ } 15,00/\text{m}$).

Primeira Encomenda

A primeira encomenda consiste em $8$ quadros de $25 \text{ cm}$ por $50 \text{ cm}$. Convertendo para metros, temos $0,25 \text{ m}$ por $0,50 \text{ m}$.

Primeiro, calculamos a área de um quadro para saber o custo da tela: $A_1 = 0,25 \text{ m} \times 0,50 \text{ m} = 0,125 \text{ m}^2$ Como são $8$ quadros, a área total de tela será: $A_{\text{total 1}} = 8 \times 0,125 \text{ m}^2 = 1 \text{ m}^2$ O custo da tela será, portanto, 1 \times 20 = \text{R\ } 20,00$.

Agora, calculamos o perímetro de um quadro para saber o custo da moldura: $P_1 = 2 \times (0,25 \text{ m} + 0,50 \text{ m}) = 2 \times 0,75 \text{ m} = 1,5 \text{ m}$ Para os $8$ quadros, o perímetro total será: $P_{\text{total 1}} = 8 \times 1,5 \text{ m} = 12 \text{ m}$ O custo da moldura será 12 \times 15 = \text{R\ } 180,00$.

Somando os custos da tela, da moldura e a taxa fixa de entrega (\text{R\ } 10,00), o valor total da primeira encomenda é: $$V_1 = 20 + 180 + 10 = \text{R\ } 210,00$$

Segunda Encomenda

A segunda encomenda também tem $8$ quadros, mas agora com o dobro das dimensões: $50 \text{ cm}$ por $100 \text{ cm}$, ou seja, $0,50 \text{ m}$ por $1,00 \text{ m}$.

Calculando a nova área para um quadro: $A_2 = 0,50 \text{ m} \times 1,00 \text{ m} = 0,50 \text{ m}^2$ A área total para os $8$ quadros será: $A_{\text{total 2}} = 8 \times 0,50 \text{ m}^2 = 4 \text{ m}^2$ O custo da tela passa a ser 4 \times 20 = \text{R\ } 80,00$.

Calculando o novo perímetro para um quadro: $P_2 = 2 \times (0,50 \text{ m} + 1,00 \text{ m}) = 2 \times 1,50 \text{ m} = 3,0 \text{ m}$ O perímetro total para os $8$ quadros será: $P_{\text{total 2}} = 8 \times 3,0 \text{ m} = 24 \text{ m}$ O custo da moldura passa a ser 24 \times 15 = \text{R\ } 360,00$.

Somando os novos custos com a mesma taxa fixa de entrega, o valor total da segunda encomenda é: $V_2 = 80 + 360 + 10 = \text{R\$ } 450,00$

Comparação dos Valores

O valor da primeira encomenda foi de \text{R\ } 210,00$e o da segunda foi de$\text{R$ } 450,00$.

Se a segunda encomenda custasse o dobro da primeira, seu valor seria: $2 \times 210 = \text{R\$ } 420,00$

Como \text{R\ } 450,00$é maior que$\text{R$ } 210,00$, mas diferente de$\text{R$ } 420,00$, concluímos que o valor da segunda encomenda é maior do que o valor da primeira, mas não é o dobro. Isso ocorre porque, ao dobrarmos as dimensões dos quadros, o perímetro dobra, mas a área quadruplica, e a taxa fixa se mantém inalterada, quebrando a proporcionalidade direta.

Portanto, a alternativa correta é a B.