Questão 148 do ENEM 2022 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos comparar a luminosidade de duas estrelas diferentes usando a fórmula fornecida pelo enunciado. A chave aqui é entender como as mudanças no raio e na temperatura afetam o resultado final, aplicando corretamente as propriedades de potenciação.

Primeiro, vamos estabelecer a nossa referência, que é a estrela F. De acordo com a Lei de Stefan-Boltzmann dada, a luminosidade da estrela F ($L_F$) pode ser escrita em função do seu raio ($R$) e da sua temperatura ($T$):

$L_F = c \cdot R^2 \cdot T^4$

Agora, vamos analisar a estrela E. O enunciado nos diz que ela possui metade do raio da estrela F e o dobro da temperatura. Matematicamente, podemos escrever essas informações como:

• Raio da estrela E: $\frac{R}{2}$
• Temperatura da estrela E: $2T$

O próximo passo é substituir esses novos valores na fórmula original para encontrar a luminosidade da estrela E ($L_E$). É muito importante usar parênteses ao fazer essa substituição para garantir que as potências sejam aplicadas corretamente a todos os termos:

$L_E = c \cdot \left(\frac{R}{2}\right)^2 \cdot (2T)^4$

Agora, vamos resolver as potências com cuidado: Para o raio, elevamos tanto o numerador quanto o denominador ao quadrado: $\left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{R^2}{2^2} = \frac{R^2}{4}$

Para a temperatura, elevamos tanto o número $2$ quanto a variável $T$ à quarta potência: $(2T)^4 = 2^4 \cdot T^4 = 16 \cdot T^4$

Substituindo esses resultados de volta na equação da estrela E, temos:

$L_E = c \cdot \frac{R^2}{4} \cdot 16 \cdot T^4$

Podemos reorganizar essa expressão, agrupando os números na frente das letras para facilitar a visualização:

$L_E = \frac{16}{4} \cdot c \cdot R^2 \cdot T^4$

Ao dividir $16$ por $4$, obtemos $4$:

$L_E = 4 \cdot (c \cdot R^2 \cdot T^4)$

Observe com atenção a parte da equação que está entre parênteses: $c \cdot R^2 \cdot T^4$. Essa é exatamente a expressão que define a luminosidade da estrela F ($L_F$) que anotamos no início!

Portanto, podemos substituir toda essa parte por $L_F$, chegando à nossa conclusão:

$L_E = 4L_F$

Isso significa que a estrela E é $4$ vezes mais luminosa que a estrela F. Um erro comum seria achar que "metade" do raio e o "dobro" da temperatura se anulariam, mas como a temperatura está elevada à quarta potência, o seu impacto no aumento da luminosidade é muito maior do que a redução causada pela diminuição do raio.

Logo, a relação correta entre as luminosidades é dada pela alternativa D.