Questão 153 do ENEM 2017 — Matemática

Precisamos descobrir a altura total do conjunto (carroceria + canos) e depois somar a margem de segurança exigida para o viaduto. Pense em empilhar blocos: a altura do viaduto será a soma da altura da carroceria, da altura do empilhamento dos canos e da margem de segurança.

A altura do empilhamento dos canos

O ponto mais delicado é a altura dos três canos. Segundo a vista traseira mostrada na figura, os três canos idênticos ficam arranjados com dois deles apoiados na carroceria e o terceiro encaixado no vão sobre eles. Por isso, a altura total dos canos não é a soma simples dos diâmetros.

Para medir essa altura, considere os centros dos três círculos. Ligando esses três centros forma-se um triângulo. Como todos os canos têm o mesmo raio ($R = 0,60 \text{ m}$), a distância entre os centros de dois canos que se tocam é a soma dos raios ($0,60 + 0,60 = 1,20 \text{ m}$).

Assim, temos um triângulo equilátero de lado $L = 1,20 \text{ m}$.

A altura total do empilhamento se compõe de três parcelas verticais:

1. do apoio dos canos de baixo até o centro deles (o raio $R$);
2. a altura ($h$) do triângulo equilátero formado pelos centros;
3. do centro do cano de cima até o seu topo (novamente o raio $R$).

Altura do triângulo equilátero

A altura de um triângulo equilátero é: $h = \frac{L \sqrt{3}}{2}$

Com $L = 1,20 \text{ m}$ e a aproximação dada $\sqrt{3} \approx 1,7$: $h = \frac{1,20 \cdot 1,7}{2} = 0,60 \cdot 1,7 = 1,02 \text{ m}$

Somando as parcelas

Altura só do empilhamento dos canos: $H_{\text{canos}} = R + h + R = 0,60 + 1,02 + 0,60 = 2,22 \text{ m}$

Por fim, a altura mínima do viaduto é a soma da altura da carroceria em relação ao solo, da altura dos canos e da margem de segurança de $0,50 \text{ m}$: $H_{\text{viaduto}} = 1,30 + 2,22 + 0,50 = 4,02 \text{ m}$

Portanto, a altura mínima do viaduto para o caminhão passar com segurança é de $4,02$ metros, correspondendo à Alternativa D.