Questão 175 do ENEM 2021 — Matemática

Para resolvermos esse problema, precisamos traduzir as informações dadas no enunciado para a linguagem matemática, montando um sistema de equações.

Vamos definir algumas variáveis para representar as grandezas envolvidas:

• $M$: massa do tanque vazio (o que queremos descobrir).
• $V$: volume interno do tanque (que é o mesmo para ambos os combustíveis).
• $d_g$: densidade da gasolina.
• $d_e$: densidade do etanol.

A massa total do tanque cheio é a soma da massa do tanque vazio com a massa do combustível. Lembrando que a massa de um líquido pode ser calculada multiplicando sua densidade pelo seu volume ($m = d \cdot V$), podemos escrever as seguintes equações para as situações descritas:

1. Tanque cheio de gasolina: $M + d_g \cdot V = 33$

2. Tanque cheio de etanol: $M + d_e \cdot V = 37$

O enunciado também nos informa que a densidade da gasolina é sete oitavos da densidade do etanol. Matematicamente, isso significa que: $d_g = \frac{7}{8} d_e$

Agora, vamos isolar a massa de cada combustível nas duas primeiras equações:

• Massa da gasolina: $d_g \cdot V = 33 - M$
• Massa do etanol: $d_e \cdot V = 37 - M$

Podemos multiplicar a relação das densidades pelo volume $V$ em ambos os lados para encontrar a relação entre as massas dos combustíveis: $d_g \cdot V = \frac{7}{8} (d_e \cdot V)$

Substituindo as expressões das massas que isolamos anteriormente nessa nova equação, temos: $33 - M = \frac{7}{8} (37 - M)$

Agora, basta resolvermos essa equação do primeiro grau para encontrar o valor de $M$. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por $8$ para eliminar o denominador: $8 \cdot (33 - M) = 7 \cdot (37 - M)$

Aplicando a propriedade distributiva: $264 - 8M = 259 - 7M$

Reorganizando os termos para isolar $M$ (passando $-8M$ para o lado direito e $259$ para o lado esquerdo): $264 - 259 = 8M - 7M$ $5 = M$

Portanto, a massa do tanque vazio é de $5 \text{ kg}$.