Questão 149 do ENEM 2022 — Matemática

Para resolvermos esse problema, precisamos primeiro entender qual é a meta restante da concessionária e quantos dias ela ainda tem para alcançá-la.

A meta total do mês é vender, pelo menos, $104$ carros. O enunciado nos diz que, nos primeiros $6$ dias, foram vendidos $18$ carros. Portanto, a quantidade de carros que ainda precisa ser vendida é:

$104 - 18 = 86 \text{ carros}$

Sabemos também que a concessionária ainda abrirá por mais $20$ dias neste mês. Nesses dias restantes, ela pode optar por não dar desconto (vendendo $3$ carros/dia), dar o desconto mínimo (vendendo $4$ carros/dia) ou dar o desconto máximo (vendendo $5$ carros/dia).

O problema pede a menor quantidade de dias em que será necessário oferecer o desconto máximo. Para que o número de dias com desconto máximo seja o menor possível, a concessionária deve maximizar as vendas nos outros dias. A melhor forma de fazer isso sem usar o desconto máximo é oferecendo o desconto mínimo todos os dias restantes, o que garante a venda de $4$ carros por dia.

Vamos chamar de $x$ a quantidade de dias em que o desconto máximo será oferecido. Como restam $20$ dias no total, a quantidade de dias com o desconto mínimo será $(20 - x)$.

A soma das vendas nesses $20$ dias deve ser suficiente para atingir os $86$ carros que faltam. Montamos então a seguinte inequação:

$5x + 4(20 - x) \ge 86$

Agora, basta resolvermos a inequação:

$5x + 80 - 4x \ge 86$

$x + 80 \ge 86$

$x \ge 86 - 80$

$x \ge 6$

Isso significa que a concessionária precisará oferecer o desconto máximo por, pelo menos, $6$ dias para conseguir alcançar a meta mensal de $104$ carros.

Podemos até tirar a prova real: se ela der o desconto máximo por $6$ dias, venderá $6 \times 5 = 30$ carros. Nos $14$ dias restantes, dando o desconto mínimo, venderá $14 \times 4 = 56$ carros. Somando com os $18$ carros já vendidos no início do mês, temos $30 + 56 + 18 = 104$ carros, atingindo a meta exatamente.