Questão 138 do ENEM 2014 — Matemática

O objetivo aqui é reconhecer, entre as planificações, aquela que se dobra corretamente para formar o prisma $ABJIDEFKLH$. Esse prisma nasce de um cubo com um corte plano, tendo como bases dois pentágonos idênticos (o formato de um quadrado com um dos cantos "chanfrado") e cinco faces laterais retangulares que formam a parede do sólido.

O critério para validar uma planificação

Duas regras práticas resolvem a questão sem precisar decorar o desenho:

1. As duas bases devem ficar em lados opostos da tira de faces laterais. Uma base fecha o topo e a outra fecha o fundo. Se as duas estiverem do mesmo lado da tira, ao dobrar ambas subiriam para o mesmo lado e o sólido ficaria aberto embaixo.
2. As arestas de cada base precisam encontrar faces laterais de largura compatível. Como o pentágono da base tem lados de tamanhos diferentes (uns curtos, outros longos, além do lado inclinado do corte), cada lado do pentágono, ao dobrar, deve encostar em um retângulo cuja largura seja igual ao comprimento daquela aresta. As duas faces laterais grandes ficam juntas; as duas estreitas ficam separadas pela face inclinada.

Aplicando às figuras

• Nas figuras em que as duas bases pentagonais aparecem do mesmo lado da fileira de retângulos, a primeira regra já é violada, pois não haveria como fechar as duas extremidades do prisma. Essas planificações são descartadas.
• Nas figuras em que os dois pentágonos estão em lados opostos, mas presos ambos ao mesmo retângulo central, de forma simétrica (alinhados um sobre o outro), a segunda regra falha: ao dobrar, os lados curtos e longos dos pentágonos não coincidem com as larguras dos retângulos vizinhos.

Por que a alternativa E

A planificação correta é aquela em que os dois pentágonos estão em lados opostos e deslocados (um preso a um retângulo mais à esquerda no alto, o outro preso a um retângulo mais à direita embaixo). Esse deslocamento é justamente o que faz cada aresta da base encontrar, ao dobrar, uma face lateral de largura correspondente — aresta curta com face estreita, aresta longa com face larga, e o lado inclinado com a face do corte. É a única figura que respeita simultaneamente as duas regras, e por isso a resposta é a alternativa E.