Questão 171 do ENEM 2009 — Matemática

Nesta questão comparamos as chances de ganhar a quina (acertar exatamente $5$ dos $6$ números sorteados) em duas estratégias de aposta que custam o mesmo valor: R$ 126,00.

Cada aposta simples de $6$ dezenas custa R$ 1,50. Com R$ 126,00 o apostador faz: $\frac{126}{1,50} = 84 \text{ apostas simples}$

Uma única aposta de $9$ dezenas equivale a todas as combinações de $6$ números escolhidos entre esses $9$: $\binom{9}{6} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84 \text{ apostas simples}$ Ou seja, a aposta de $9$ dezenas também custa exatamente R$ 126,00. As duas estratégias equivalem a $84$ jogos simples.

O número total de resultados possíveis do sorteio é $T = \binom{60}{6}$. Vamos contar os casos favoráveis à quina em cada cenário.

Cenário 1: 84 apostas simples diferentes

Para uma aposta de $6$ dezenas fazer a quina, o sorteio precisa conter exatamente $5$ dos $6$ números apostados e $1$ dos $54$ não apostados: $\binom{6}{5} \times \binom{54}{1} = 6 \times 54 = 324$ Como o enunciado garante que as $84$ apostas não têm cinco números em comum, os sorteios que dão quina em uma aposta não dão quina em outra (eventos disjuntos). Podemos somar os casos favoráveis: $\text{Casos favoráveis (Cenário 1)} = 84 \times 324 = 27.216$ Logo, $P_1 = \frac{27.216}{T}$.

Cenário 2: 1 aposta de 9 dezenas

Para a aposta de $9$ dezenas fazer a quina, o sorteio deve conter exatamente $5$ dos $9$ números apostados e $1$ dos $51$ restantes (pois $60 - 9 = 51$): $\binom{9}{5} \times \binom{51}{1} = 126 \times 51 = 6.426$ Logo, $P_2 = \frac{6.426}{T}$.

Comparação

O comando pede a probabilidade do segundo caso em relação ao primeiro. Dividimos $P_1$ por $P_2$ (o denominador $T$ se cancela): $\frac{P_1}{P_2} = \frac{27.216}{6.426} \approx 4,23$ Isso significa que a probabilidade de acertar a quina com a aposta de $9$ dezenas é aproximadamente $4$ vezes menor do que fazendo as $84$ apostas simples. A resposta é a alternativa C.