Questão 138 do ENEM 2009 — Matemática

Para resolver, usamos a função exponencial dada no enunciado para estimar a população de idosos no ano de $2030$.

Identificando a variável de tempo

O modelo é: $y = 363 \cdot e^{0,03x}$

O enunciado diz que $x = 0$ corresponde a $2000$. Para $2030$, contamos quantos anos se passaram desde o ano-base: $x = 2030 - 2000 = 30$

Substituindo na função

Colocando $x = 30$: $y = 363 \cdot e^{0,03 \cdot 30}$

No expoente, $0,03 \cdot 30 = 0,9$, então: $y = 363 \cdot e^{0,9}$

Usando propriedade de potência

Precisamos de $e^{0,9}$, mas o problema só fornece $e^{0,3} = 1,35$. Aqui entra a propriedade da potência de potência, $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Como $0,9 = 0,3 \cdot 3$: $e^{0,9} = e^{0,3 \cdot 3} = (e^{0,3})^3 = (1,35)^3$

Cálculo final

Calculando a potência: $1,35 \cdot 1,35 = 1,8225$ $1,8225 \cdot 1,35 \approx 2,46$

Voltando à equação e multiplicando pelo coeficiente inicial: $y = 363 \cdot 2,46 \approx 893$

A população estimada com $60$ anos ou mais em $2030$ é de aproximadamente $893$ milhões, valor que está no intervalo entre $870$ e $910$ milhões — a alternativa E.