Questão 141 do ENEM 2018 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos descobrir quantos postes serão instalados no total e, em seguida, multiplicar essa quantidade pelo custo de cada poste.

Identificando o padrão

O enunciado nos diz as posições em que os postes serão colocados em relação à praça:

• O 1º poste fica a $80\text{ m}$.
• O 2º poste fica a $100\text{ m}$.
• O 3º poste fica a $120\text{ m}$.
• E assim por diante, até o último poste, que fica a $1\,380\text{ m}$.

Note que a distância de um poste para o próximo aumenta sempre de $20\text{ m}$ em $20\text{ m}$. Na matemática, uma sequência de números que aumenta sempre por um valor constante é chamada de Progressão Aritmética (P.A.).

Podemos organizar os dados da nossa P.A. da seguinte forma:

• Primeiro termo ($a_1$): $80$ (posição do primeiro poste)
• Razão ($r$): $20$ (distância entre os postes)
• Último termo ($a_n$): $1\,380$ (posição do último poste)

O que queremos descobrir é o número de termos dessa sequência ($n$), que representa a quantidade total de postes.

Calculando a quantidade de postes

Para encontrar o valor de $n$, utilizamos a fórmula do termo geral da P.A.: $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$

Substituindo os valores que identificamos: $1\,380 = 80 + (n - 1) \cdot 20$

Agora, vamos resolver a equação passo a passo. Primeiro, passamos o $80$ subtraindo para o outro lado: $1\,380 - 80 = (n - 1) \cdot 20$ $1\,300 = (n - 1) \cdot 20$

O número $1\,300$ representa a distância total entre o primeiro e o último poste. Como os postes estão espaçados a cada $20\text{ m}$, vamos dividir essa distância por $20$ para descobrir quantos "intervalos" existem entre eles: $\frac{1\,300}{20} = n - 1$ $65 = n - 1$

Aqui, é preciso ter muito cuidado! O número $65$ é a quantidade de intervalos (ou espaços) entre os postes, e não o número de postes. Para encontrar a quantidade de postes, passamos o $-1$ somando: $n = 65 + 1$ $n = 66$

Portanto, serão instalados $66$ postes ao longo da estrada.

Calculando o custo total

A prefeitura pode pagar, no máximo, \text{R\ } 8,000,00$ por poste. Para descobrir o gasto máximo total, basta multiplicar a quantidade de postes pelo valor de cada um: $\text{Custo Total} = 66 \cdot 8\,000$

Para facilitar a conta mentalmente, você pode fazer apenas $66 \cdot 8$: $66 \cdot 8 = 528$

E depois acrescentar os três zeros do milhar: $\text{Custo Total} = 528\,000$

O maior valor que a prefeitura poderá gastar é \text{R\ } 528,000,00$, o que corresponde à alternativa C.