Questão 139 do ENEM 2016 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos entender a relação entre a vazão, a área da seção transversal e a velocidade da água. O enunciado nos dá a fórmula da vazão:

$V = A \cdot v$

Onde:

• $V$ é a vazão (em $\text{m}^3/\text{s}$)
• $A$ é a área da seção transversal (em $\text{m}^2$)
• $v$ é a velocidade da água (em $\text{m}/\text{s}$)

Sabemos que a velocidade da água ($v$) não se alterou com a reforma. Vamos analisar as duas situações: antes e depois da reforma.

Situação após a reforma

A nova galeria tem uma seção quadrada com lado igual ao dobro da anterior. Como o lado original era de $2 \text{ m}$, o novo lado é de $4 \text{ m}$. Podemos calcular a nova área ($A_2$): $A_2 = 4 \text{ m} \cdot 4 \text{ m} = 16 \text{ m}^2$

O enunciado nos diz que a nova vazão ($V_2$) é de $400 \text{ m}^3/\text{s}$. Usando a fórmula da vazão, podemos descobrir a velocidade da água: $V_2 = A_2 \cdot v$ $400 = 16 \cdot v$ $v = \frac{400}{16} = 25 \text{ m}/\text{s}$

Situação antes da reforma

Agora que sabemos a velocidade da água, podemos calcular a vazão original ($V_1$). A galeria antiga tinha lado de $2 \text{ m}$, então sua área ($A_1$) era: $A_1 = 2 \text{ m} \cdot 2 \text{ m} = 4 \text{ m}^2$

Como a velocidade é a mesma ($v = 25 \text{ m}/\text{s}$), a vazão máxima antes da reforma era: $V_1 = A_1 \cdot v$ $V_1 = 4 \cdot 25 = 100 \text{ m}^3/\text{s}$

Um atalho pelo raciocínio de proporção

Em provas como o ENEM, ganhar tempo é fundamental. Poderíamos ter resolvido essa questão apenas observando as proporções!

Se o lado do quadrado dobrou, a sua área foi multiplicada por $2^2$, ou seja, a área ficou $4$ vezes maior. Como a vazão é diretamente proporcional à área (já que a velocidade é constante), a nova vazão também é $4$ vezes maior que a antiga.

Assim, bastava dividir a nova vazão por $4$ para encontrar a vazão original: $V_1 = \frac{400}{4} = 100 \text{ m}^3/\text{s}$

Portanto, a vazão máxima nas galerias antes das reformas era de $100 \text{ m}^3/\text{s}$.