Questão 146 do ENEM 2025 — Matemática

ENEM 2025MatemáticaReaplicação

A prefeitura de uma cidade lançou um edital convidando empresas para um processo de licitação, para execução de serviços relacionados a obras em uma rodovia. Cinco empresas se inscreveram para participar do pregão. Elas devem dar lances em três modalidades: maquinário, recursos humanos e manta asfáltica. As regras a serem seguidas no dia do pregão são:

  • lances apresentados são conhecidos por todos e não podem ser alterados até o fim do pregão;
  • para a prestação de serviço em cada modalidade, os lances devem ser de valores múltiplos de R\$ 500,00;
  • para cada modalidade haverá um período de 10 minutos para as empresas fazerem seus lances.

A empresa cuja soma dos valores dos lances for menor que a das outras participantes será a vencedora. Em caso de empate, vence a licitação a empresa que tiver oferecido o lance de menor valor na modalidade “maquinário”. Se os lances das empresas empatadas forem iguais nessa modalidade, elas compartilharão os serviços.

No dia do pregão, o dono da Empresa 2 organizou um quadro para registrar os valores dos lances. Em determinado momento, faltava apenas seu lance para manta asfáltica.

Maquinário (R$)Nota 1Recursos Humanos (R$)Nota 2Manta Asfáltica (R$)Nota 3
Empresa 110 000,00105 500,00712 000,008
Empresa 211 000,0097 000,008?
Empresa 311 500,0076 000,00611 000,0010
Empresa 412 000,0065 000,00911 500,009
Empresa 511 000,0085 000,001012 500,007

Ele pretende que seu lance seja do maior valor possível, mas que permita que sua empresa seja a única vencedora nesse processo licitatório.

O valor do lance a ser feito pelo dono da Empresa 2 deverá ser, em real, de
A
4 500,00.
B
6 500,00.
9 000,00.
Resposta correta
D
9 500,00.
E
10 500,00.
Gabarito oficial: alternativa C

Resolução comentada

Para resolvermos esse problema, precisamos entender as regras da licitação e analisar os valores propostos por cada empresa. O objetivo do dono da Empresa 2 é dar o maior lance possível na modalidade "Manta Asfáltica", mas garantindo que sua empresa seja a única vencedora.

Analisando os concorrentes

A regra principal diz que vence a empresa com a menor soma total dos lances nas três modalidades. Vamos calcular o valor total das empresas concorrentes (ignorando os números de notas/rodapés que aparecem colados aos valores na tabela):

  • Empresa 1: 10.000 + 5.500 + 12.000 = \text{R\ } 27.500,00$
  • Empresa 3: 11.500 + 6.000 + 11.000 = \text{R\ } 28.500,00$
  • Empresa 4: 12.000 + 5.000 + 11.500 = \text{R\ } 28.500,00$
  • Empresa 5: 11.000 + 5.000 + 12.500 = \text{R\ } 28.500,00$

A principal concorrente da Empresa 2 é a Empresa 1, que possui o menor valor total acumulado: \text{R\ } 27.500,00$.

A situação da Empresa 2

Até o momento, a Empresa 2 já deu os seguintes lances:

  • Maquinário: \text{R\ } 11.000,00$
  • Recursos Humanos: \text{R\ } 7.000,00$

Somando esses valores, a Empresa 2 já acumula \text{R\ } 18.000,00$.

Critério de desempate

Se a Empresa 2 igualar o valor total da Empresa 1 (ou seja, chegar a \text{R\ } 27.500,00$), haverá um empate. O edital diz que, em caso de empate, vence quem deu o menor lance na modalidade Maquinário.

  • Lance em Maquinário da Empresa 1: \text{R\ } 10.000,00$
  • Lance em Maquinário da Empresa 2: \text{R\ } 11.000,00$

Como 11.000>10.00011.000 > 10.000, a Empresa 2 perderia no critério de desempate. Portanto, para ser a única vencedora, a Empresa 2 não pode empatar; ela precisa ter uma soma total estritamente menor que \text{R\ } 27.500,00$.

Calculando o lance máximo

Como os lances devem ser múltiplos de \text{R\ } 500,00,omaiorvalortotalqueaEmpresa2podeatingirparaganhardaEmpresa1eˊ, o maior valor total que a Empresa 2 pode atingir para ganhar da Empresa 1 é \text{R$ } 27.000,00(queeˊ(que é27.500 - 500$).

Seja xx o lance que a Empresa 2 fará em Manta Asfáltica. Temos: 18.000+x=27.00018.000 + x = 27.000 x=27.000−18.000x = 27.000 - 18.000 x=9.000x = 9.000

Portanto, o maior lance que o dono da Empresa 2 pode fazer na modalidade Manta Asfáltica, garantindo a vitória isolada, é de \text{R\ } 9.000,00$.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2025 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.