Questão 164 do ENEM 2024 — Matemática

Para resolver essa questão, o primeiro passo é traduzir a situação do mundo real para a geometria. O enunciado nos diz que os três postos de saúde ($P_1$, $P_2$ e $P_3$) são equidistantes entre si, com uma distância de $10 \text{ km}$. Isso significa que eles formam os vértices de um triângulo equilátero de lado $L = 10 \text{ km}$.

O hospital ($H$) deve ser construído em um local que tenha a mesma distância para os três postos. Em um triângulo equilátero, o ponto que é equidistante dos três vértices é o centro do triângulo. Esse ponto notável é, ao mesmo tempo, o circuncentro, o incentro, o ortocentro e o baricentro.

A Propriedade do Baricentro

A chave para matar a questão está em lembrar de uma propriedade fundamental do baricentro: ele divide a altura do triângulo em duas partes, numa proporção de $2$ para $1$.

Isso significa que a distância do centro (hospital) até qualquer um dos vértices (postos de saúde) corresponde a exatamente $\frac{2}{3}$ da altura total do triângulo. A parte menor, que vai do centro até o lado do triângulo, corresponde a $\frac{1}{3}$ da altura.

Calculando a Altura

Primeiro, precisamos descobrir a altura ($h$) desse triângulo equilátero. A fórmula da altura em função do lado ($L$) é:

$h = \frac{L\sqrt{3}}{2}$

Substituindo o valor do lado ($L = 10$):

$h = \frac{10\sqrt{3}}{2}$ $h = 5\sqrt{3} \text{ km}$

Encontrando a Distância do Hospital aos Postos

Como vimos, a distância ($d$) que procuramos é $\frac{2}{3}$ da altura. Vamos calcular:

$d = \frac{2}{3} \cdot h$ $d = \frac{2}{3} \cdot 5\sqrt{3}$ $d = \frac{10\sqrt{3}}{3} \text{ km}$

Aproximando o Valor

As alternativas estão em números decimais (intervalos inteiros), então precisamos aproximar o valor de $\sqrt{3}$. No ENEM, é muito importante lembrar que $\sqrt{3} \approx 1,73$. Substituindo esse valor na nossa equação:

$d \approx \frac{10 \cdot 1,73}{3}$ $d \approx \frac{17,3}{3}$

Fazendo a divisão de $17,3$ por $3$:

$d \approx 5,76 \text{ km}$

Analisando o resultado, vemos que a distância de aproximadamente $5,76 \text{ km}$ é um valor que se encontra no intervalo entre $5$ e $6$.

Cuidado com as armadilhas: Um erro comum seria calcular a altura total ($5 \cdot 1,73 = 8,65$) e dividir por $2$, achando que o centro fica na metade da altura, o que levaria à alternativa B. Lembre-se sempre da proporção de $\frac{2}{3}$ para o baricentro!