Questão 147 do ENEM 2025 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos lembrar que a produtividade $P$ é modelada por uma função quadrática em relação à quantidade de fertilizante $Q$. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Como queremos encontrar a dosagem ideal que torna a produção máxima, estamos buscando a coordenada $Q$ do vértice da parábola ($Q_v$).

Existem duas maneiras excelentes de resolver esse problema: uma muito rápida usando a simetria da parábola e outra algébrica, encontrando a lei de formação da função.

Método 1: Usando a simetria da parábola (Mais rápido)

Uma das propriedades mais importantes da parábola é que ela é perfeitamente simétrica em relação ao eixo vertical que passa pelo seu vértice. Isso significa que, se tivermos dois valores diferentes de $Q$ que resultam na mesma produtividade $P$, o vértice estará exatamente no ponto médio entre esses dois valores.

Observando os dados fornecidos no enunciado, temos:

• Para $Q = 100$, a produtividade é $P = 6\ 000$.
• Para $Q = 500$, a produtividade também é $P = 6\ 000$.

Como as produtividades são iguais, a dosagem que gera a produção máxima ($Q_v$) é a média aritmética entre $100$ e $500$:

$Q_v = \frac{100 + 500}{2}$ $Q_v = \frac{600}{2}$ $Q_v = 300\ \text{kg/ha}$

Método 2: Encontrando a função quadrática

Se você não percebesse a simetria de imediato, poderia montar a função $P(Q) = aQ^2 + bQ + c$ usando os pontos dados.

1. Usando o ponto $(0, 1\ 000)$: $P(0) = a(0)^2 + b(0) + c = 1\ 000 \implies c = 1\ 000$

2. Usando o ponto $(100, 6\ 000)$: $a(100)^2 + b(100) + 1\ 000 = 6\ 000$ $10\ 000a + 100b = 5\ 000$ Dividindo tudo por $100$: $100a + b = 50 \quad \text{(Equação I)}$

3. Usando o ponto $(200, 9\ 000)$: $a(200)^2 + b(200) + 1\ 000 = 9\ 000$ $40\ 000a + 200b = 8\ 000$ Dividindo tudo por $200$: $200a + b = 40 \quad \text{(Equação II)}$

Subtraindo a Equação I da Equação II: $(200a + b) - (100a + b) = 40 - 50$ $100a = -10 \implies a = -0,1$

Substituindo $a = -0,1$ na Equação I: $100(-0,1) + b = 50$ $-10 + b = 50 \implies b = 60$

A função é $P(Q) = -0,1Q^2 + 60Q + 1\ 000$. Para achar o $Q$ que maximiza a produção, usamos a fórmula do $x$ do vértice ($x_v = -\frac{b}{2a}$):

$Q_v = -\frac{60}{2(-0,1)}$ $Q_v = -\frac{60}{-0,2}$ $Q_v = 300\ \text{kg/ha}$

Ambos os caminhos nos levam à mesma conclusão: a dosagem ideal de fertilizante é de $300\ \text{kg/ha}$.