Questão 174 do ENEM 2023 — Matemática

Para resolvermos esse problema, precisamos traduzir as informações do enunciado para a linguagem matemática, montando uma equação que relacione a quantidade de camisas e o preço unitário em cada uma das semanas.

Entendendo as variáveis e os preços

Vamos chamar de $x$ a quantidade de camisas que compõem um lote na 1ª semana. Sabemos que o preço total desse lote é de R$ 720,00. Assim, o preço unitário de cada camisa na 1ª semana pode ser calculado dividindo o valor total pela quantidade de camisas:

$\text{Preço unitário na 1ª semana} = \frac{720}{x}$

Na 2ª semana, a proprietária decide aumentar a quantidade de camisas por lote em $3$ unidades, mantendo o mesmo preço total de R$ 720,00. Portanto, o novo lote terá $x + 3$ camisas. O preço unitário na 2ª semana será:

$\text{Preço unitário na 2ª semana} = \frac{720}{x + 3}$

Montando a equação

O enunciado nos diz que, com essa mudança, o preço unitário de cada peça na 2ª semana fica R$ 20,00 mais barato do que na 1ª semana. Isso significa que a diferença entre o preço unitário da 1ª semana e o da 2ª semana é igual a $20$. Podemos escrever isso como:

$\frac{720}{x} - \frac{720}{x + 3} = 20$

Resolvendo a equação

Para facilitar os cálculos, podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por $20$:

$\frac{36}{x} - \frac{36}{x + 3} = 1$

Agora, precisamos eliminar os denominadores. Para isso, multiplicamos toda a equação pelo mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores, que é $x(x + 3)$:

$36(x + 3) - 36x = 1 \cdot x(x + 3)$

Fazendo a distributiva em ambos os lados:

$36x + 108 - 36x = x^2 + 3x$

Os termos $36x$ e $-36x$ se cancelam no lado esquerdo:

$108 = x^2 + 3x$

Reorganizando os termos para formar uma equação do segundo grau no formato padrão ($ax^2 + bx + c = 0$), obtemos:

$x^2 + 3x - 108 = 0$

Podemos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara. Primeiro, calculamos o discriminante ($\Delta$):

$\Delta = b^2 - 4ac$ $\Delta = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108)$ $\Delta = 9 + 432$ $\Delta = 441$

Agora, encontramos os valores de $x$:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ $x = \frac{-3 \pm \sqrt{441}}{2 \cdot 1}$ $x = \frac{-3 \pm 21}{2}$

Isso nos dá duas possíveis soluções:

$x_1 = \frac{-3 + 21}{2} = \frac{18}{2} = 9$ $x_2 = \frac{-3 - 21}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Como $x$ representa uma quantidade de camisas, não faz sentido termos um valor negativo. Portanto, descartamos o $-12$ e ficamos apenas com $x = 9$.

Conclusão

A quantidade de camisas que deverão conter os lotes colocados à venda na 1ª semana é $9$.

(Apenas para conferir: na 1ª semana, $9$ camisas por R$ 720,00 dão R$ 80,00 cada. Na 2ª semana, $12$ camisas por R$ 720,00 dão R$ 60,00 cada. A diferença é exatamente R$ 20,00, o que confirma nosso resultado!)